a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow5=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=0.6\Rightarrow\widehat{B}\approx53^o\)
\(\Rightarrow\sin B=\sin53^o\approx0.8=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{6}\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)
b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H: \(BH=AB.\cos B\)
Tương tự: \(HC=AC.\cos C\)
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh
c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác cho \(\Delta ABH\) có HE là đường cao: \(HA^2=AE.AB\)
Tương tự: \(HA^2=AN.AC\)
Nên AE.AB = AN.AC
a) \(\Delta\)ABC vuông tại A, có trung tuyến AM
=> AM = BC/2 ( tc đường trung tuyến )
=> BC = 2.AM = 2.5 = 10 (cm)
\(\Delta\)ABC vuông tại A
\(cosB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\) (TSLG)
=> \(\widehat{B}\approx53^o8'\)
\(AB^2+AC^2=BC^2\) (ĐL pitago)
=> \(AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)
=> AC = 8 (cm)
\(AB.AC=AH.BC\) ( HT cạnh và đường cao )
=> \(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)
c) \(\Delta\)AHB vuông tại H ; \(HE\perp AB\)
\(AH^2=AE.AB\) ( HT cạnh và đường cao ) (1)
\(\Delta\)AHC vuông tại H ; \(HN\perp AC\)
\(AH^2=AN.AC\) ( HT cạnh và đường cao ) (2)
- Từ (1) và (2): => \(AE.AB=AN.AC\left(dfcm\right)\)
d) Gọi I là giao điểm của AM và EN
Vì AE.AB = AN.AC \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\)
Dễ chứng minh được: \(\Delta AEN\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ENA}=\widehat{CBA}\)
Như đã chứng minh ở câu a: \(AM=\dfrac{BC}{2}=BM=MC\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MBA}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{ENA}\)
Dễ chứng minh được: \(\Delta EIA\sim\Delta EAN\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{EIA}=\widehat{EAN}=90^o\)
\(\Rightarrow EN\perp AM\)
