Cho 3 số dương thỏa mãn a+b+c \(\le\)2018 . Cm:
\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\)+ \(\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\) + \(\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\) \(\le\) 2018
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le3\)
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(M=\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\dfrac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
Ta chứng minh bổ đề sau:
\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có
\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c ≤ 2018. Cmr:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^3}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^3}\le2018\)
Ta có: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}=\frac{3a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
\(=a-\frac{a^2b+b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
= \(a-\frac{b\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^3}{a\left(b+3a\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT AM - GM ( x2 + y2 \(\ge2xy\)) ta có:
(1) \(\le a-\frac{2ab^2}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^2}{b+3a}\) = \(a-\frac{2b^2}{b+3a}+\frac{2a^2}{b+3a}\) (2)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\le b-\frac{2c^2}{c+3b}+\frac{2b^2}{c+3b}\left(3\right)\)
\(\frac{5c^3-a^2}{ca+3c^2}\)\(\le c-\frac{2a^2}{a+3c}+\frac{2c^2}{a+3c}\)(4)
Từ (2), (3), (4) \(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le a+b+c+\left(\frac{2a^2}{a+3c}-\frac{2a^2}{a+3c}\right)+\left(\frac{2b^2}{b+3c}-\frac{2b^2}{b+3c}\right)+\left(\frac{2c^2}{c+3a}-\frac{2c^2}{c+3a}\right)=a+b+c\le2018\)
Vậy \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)
a,b,c>0
CMR \(\dfrac{5b^2-a^3}{ab+3b^3}+\dfrac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\dfrac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\le a+b+c\)
Cho ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 . Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\dfrac{a}{9a^3+3b^2+c}+\dfrac{b}{9b^3+3c^2+a}+\dfrac{c}{9c^3+3a^2+b}+2018\left(ab+bc+ca\right)\)
Bài tương tự bài dưới đây:
Câu hỏi của Nguyễn Đặng Việt Tuấn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Ta chứng minh được:
\(\frac{a}{9a^3+3b^2+c}+\frac{b}{9b^3+3c^2+a}+\frac{c}{9c^3+3a^2+b}\leq \frac{2}{3}+ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2}{3}+2019(ab+bc+ac)\)
Mà \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\leq \frac{2021}{3}\) hay \(P_{\max}=\frac{2021}{3}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :\(\dfrac{\sqrt{3a+bc}}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{\sqrt{3b+ac}}{b+\sqrt{3b+ac}}+\dfrac{\sqrt{3c+ab}}{c+\sqrt{3c+ab}}\)≥ 2
Bài 1:Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c\(\le\)2018. Chứng minh rằng
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)
Xét \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-b\)(1)
<=> \(5a^3-b^3\le\left(2a-b\right)\left(ab+3a^2\right)\)
<=> \(5a^3-b^3\le6a^3-a^2b-b^2a\)
<=> \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
<=> \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
<=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=> (1) được CM
=> \(VT\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\le2018\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}\)
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìn giá trị lớn nhất của \(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{b\left(a+3b\right)}\le0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(P\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c=3\)
Dấu '=" khi \(a=b=c=1\)
Xét \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}-\left(2b-a\right)=\frac{5a^3-a^3-\left(ab+3b^2\right)\left(2b-a\right)}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{5b^3-a^3-\left(2ab^2-a^2b+6b^3-3b^2a\right)}{ab+3b^2}=\frac{-b^5-a^3+a^2b+b^2a}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+3b^3}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Ta có 2 BĐT tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\\\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên ta được \(P\le2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c<=2015. CMR:
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2015\)
\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}-\left(2a-b\right)=-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab+3a^2}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-b\)