Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Trà

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(M=\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\dfrac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)

Unruly Kid
1 tháng 3 2019 lúc 14:44

Ta chứng minh bổ đề sau:

\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có

\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
T.Huyền
Xem chi tiết
Andromeda Galaxy
Xem chi tiết
Lê Thị Bích Thảo
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết