Question

Cho 3 số dương thỏa mãn a+b+c \(\le\)2018 . Cm:

\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\)+ \(\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\) + \(\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\) \(\le\) 2018

Answer 1

Lời giải:

Xét \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq 0, \forall a,b>0\)

Do đó \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\) với mọi $a,b>0$

\(\Rightarrow b^3\geq ab(a+b)-a^3\)

\(\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{5a^3-[ab(a+b)-a^3]}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-b(a+b)}{b+3a}\)

hay \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{(2a-b)(3a+b)}{b+3a}=2a-b\)

Hoàn toàn tương tự ta có:

\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\text{VT}\leq a+b+c\leq 2018\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2018}{3}\)