Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :

\(\dfrac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\dfrac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\dfrac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le3\)

Akai Haruma
13 tháng 4 2021 lúc 14:27

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Các câu hỏi tương tự
dinh huong
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
tiểu an Phạm
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Hiền
Xem chi tiết
Châu Đặng Huỳnh Bảo
Xem chi tiết
bùi Anh
Xem chi tiết
nguyễn đình thành
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết