a.

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\) \(\Rightarrow SH\perp CD\)

Gọi E là trung điểm CD \(\Rightarrow HE||BC\Rightarrow HE\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

Từ H kẻ \(HF\perp SE\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a), \(HE=BC=a\)

Hệ thức lượng: \(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Do \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

b.

Theo tính chất trọng tâm, ta có \(GS=\dfrac{2}{3}HS\)

Mà \(HG\cap\left(SCD\right)=S\Rightarrow d\left(G;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(H;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}\)

c.

Từ H kẻ \(HK\perp SA\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow AD\perp HK\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(HK=\dfrac{SH.AH}{\sqrt{SH^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Do \(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BH\cap\left(SAD\right)=A\\BA=2HA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d\left(BC;SD\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

d.

Gọi M là trung điểm AD \(\Rightarrow OM||CD\Rightarrow CD||\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow d\left(CD;SO\right)=d\left(CD;\left(SOM\right)\right)=d\left(E;\left(SOM\right)\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}HE\cap\left(SOM\right)=O\\HO=EO\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d\left(E;\left(SOM\right)\right)=d\left(H;\left(SOM\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HI\perp SO\)

\(OM||CD\Rightarrow OM\perp\left(SHE\right)\Rightarrow OM\perp HI\)

\(\Rightarrow HI\perp\left(SOM\right)\Rightarrow HI=d\left(H;\left(SOM\right)\right)\)

\(OH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

Hệ thức lượng:

\(HI=\dfrac{SH.HO}{\sqrt{SH^2+HO^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Gọi K là trung điểm CD \(\Rightarrow HK||BC\Rightarrow HK\perp AB\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\)

Trong tam giác SHK, kẻ \(HI\perp SK\Rightarrow HI\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow HI=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

Mà \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=HI\)

\(SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(HK=BC=a\)

\(\dfrac{1}{HI^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{7}{3a^2}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

b. Theo cmt ta có \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=BC=a\)

c. \(BC||AD\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Mà BH cắt (SAD) tại A, đồng thời \(BA=2HA\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HM\perp SA\Rightarrow HM\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HM=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{HM^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{3a^2}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=2HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án D

Đáp án D

Hạ 

Hạ 

Đáp án A

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB và CD

Vì  S M S A = 1 2 ⇒ d M ; S C D = 1 2 d A ; S C A = 1 2 d I ; S C A

= 1 2 I H , trong đó H là hình chiếu của I lên SE

Ta có  1 I H 2 = 1 I S 2 + 1 I E 2 = 1 a 2 − a 2 2 + 1 a 2 = 7 3 a 2

⇒ I H = a 21 7 ⇒ d M ; S C D = 1 2 . a 21 7 = a 21 14

a: BD vuông góc AC

BD vuông góc SA

=>BD vuông góc (SAC)

=>(SBD) vuông góc (SAC)

b: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA
=>BC vuông góc (SAB)

=>BC vuông góc AK

mà AK vuông góc SB

nên AK vuông góc (SBC)