Question

Cho hình chóp S. ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết tam giác SAB là tam giác đều và mp (SAB) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ B đến mp (SCD)

Answer 1

Đáp số: \(\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Ta thấy \(AB\) song song với \(CD\) nên \(AB\)song song với mặt phẳng \(\left(SCD\right)\), do đó khoảng cách từ B đến mp (SCD) bằng khoảng cách từ E (trung điểm AB) tới mp (SCD). Gọi F là trung điểm của CD thì dễ thấy CD vuông góc với mp (SEF), do đó đường cao EH của tam giác SEF cũng vuông góc với mp (SCD) và bằng khoảng cách cần tìm.

Trong tam giác đều SAB cạnh a, đường cao \(SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Trong tam giác vuông SEF ta có

\(\dfrac{1}{EH^2}=\dfrac{1}{SE^2}+\dfrac{1}{EF^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}\)

\(\Rightarrow EH^2=\dfrac{3a^2}{7}\Rightarrow EH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)