a: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HD=AD

hay D nằm trên đường trung trực của AH(1)

ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên HE=AE

hay E nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE là đường trung trực của AH

hay A và H đối xứng nhau qua ED

a)  \(\Delta ABC\) có  MA = MB;  NA = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC

\(\Rightarrow\)Tứ giác BMNC là hình thang

b)  \(\Delta ABC\)có  NA = NC;  QB = QC

\(\Rightarrow\)NQ // AB;   NQ = 1/2 AB

mà   MA = 1/2 AB

\(\Rightarrow\)NQ = MA

Tứ giác AMQN có   NQ // AM;   NQ = AM

\(\Rightarrow\)AMQN là hình bình hành

c)  E là điểm đối xứng của H qua M

\(\Rightarrow\)ME = MH

Tứ giác AHBE  có  MA = MB (gt);  ME = MH (gt)

\(\Rightarrow\)AHBE là hình bình hành

mà  \(\widehat{AHB}\)= 90⁰

\(\Rightarrow\)hình bình hành AHBE  là  hình  chữ nhật

còn câu d nữa nè

a) Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}\) và \(\widehat{AEH}\) là hai góc đối

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(AD\cdot AB=AH^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(AE\cdot AC=AH^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)(đpcm)

a: Xét tứ giác AHCK có

D là trung điểm chung của AC và HK

=>AHCK là hình bình hành

Hình bình hành AHCK có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCK là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC và \(ED=\dfrac{BC}{2}\)

Ta có: ED//BC

I\(\in\)BC

Do đó: ED//IC 

Ta có: ED=BC/2

IC=BC/2

Do đó: ED=IC

Xét tứ giác EDCI có

ED//CI

ED=CI

Do đó: EDCI là hình bình hành

c: Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HD là đường trung tuyến

nên DH=DC

mà DC=EI(EDCI là hình bình hành)

nên DH=EI

Xét tứ giác EDIH có ED//IH

nên EDIH là hình thang

Hình thang EDIH có DH=EI

nên EDIH là hình thang cân

a: Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC

hay DECB là hình thang

a: Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC

hay DECB là hình thang

a/ D đối xứng với H qua AB

⇒ AB là đường trung trực của DH ⇒ \(AD=AH\) (tính chất đường trung trực)

- E đối xứng với H qua AC

⇒ AC là đường trung trực của DE ⇒ \(AH=AE\) (tính chất đường trung trực)

Vậy: \(AD=AE\) hay A là trung điểm của DE (đpcm)

==========

b/ - AB là trung trực của DH (cmt) ⇒ \(DB=HB\) (tính chất đường trung trực)

- AC là đường trung trực của DE (cmt) ⇒ \(HC=HE\) (tính chất đường trung trực)

Xét △ADB và △ADH có:

 - \(AH=AD\left(cmt\right)\)

 - \(AB\text{ }chung\)

 - \(DB=HB\left(cmt\right)\)

⇒ △ADB=△AHB (c.c.c) ⇒ \(\hat{ADB}=\hat{AHB}=90\text{°}\left(1\right)\)

- Tương tự ta cũng có: △AHC=△AEC (c.c.c) ⇒ \(\hat{AHC}=\hat{AEC}=90\text{°}\left(2\right)\)

\(DE\perp DB;DE\perp CE\Rightarrow DB\text{//}CE\)

⇒ ABEC là hình thang

Từ (1) và (2): Vậy: ABEC là hình thang vuông (đpcm)

==========

c/ Xét △AHB và △ABC có:

- \(\hat{AHB}=\hat{BAC}=90\text{°}\)

- \(\hat{ABH}\text{ }chung\)

⇒ △HBA ∼ △ABC (g.g) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow AB=\sqrt{\left(2+8\right).2}=\sqrt{20}\left(cm\right)\)

Xét △AHB vuông tại H:

\(AB^2=AH^2+HB^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\left(\sqrt{20}\right)^2-2^2}=4\left(cm\right)\)

- Mặt khác: \(AH=AD=AE=4\left(cm\right)\)

\(HB=DB=2\left(cm\right)\)

\(HC=CE=8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow P_{BDEC}=\left(4+4\right)+2+\left(2+8\right)+8=28\left(cm\right)\)

Vậy: \(AH=4cm\)

        \(P_{BDEC}=28cm\)