Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

= \(\left(2x-1\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2010\)

\(\ge0+2\sqrt{x.\dfrac{1}{4x}}+2010\) = \(1+2010=2011\)

=> Dấu = xảy ra <=> \(2x=1\) => \(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy ........................................

\(M=\)như trên

\(=>M=4x^2-4x+1+x+\frac{1}{4x}+2010\)

\(=>M=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\)

\(=>M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\)

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số không âm, ta có: 

\(x+\frac{1}{4x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(=>M=\left(2x-1\right)^2+\left(x+\frac{1}{4x}\right)+2010\ge0+1+2010=2011\\ \)

=>minM=2011 khi x=\(\frac{1}{2}\)

x>o nhá

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
$3x^2+\frac{3}{4}\geq 3x$

$x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}\geq 3\sqrt[3]{x^2.\frac{1}{8x}.\frac{1}{8x}}=\frac{3}{4}$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}+\frac{3}{4}\geq 3x+\frac{3}{4}$

$\Rightarrow 4x^2+\frac{1}{4x}\geq 3x$

$\Rightarrow M=4x^2+\frac{1}{4x}-3x+2011\geq 2011$

Vậy $M_{\min}=2011$ khi $x=\frac{1}{2}$

Điều kiện là x>0 hay x<0 bạn?

Với \(x< 0\) thì ko có min hay max đâu

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(4x^2+1\geq 4x\)

\(\Rightarrow M= 4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2011\geq x+\frac{1}{4x}+2010\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \(x+\frac{1}{4x}\geq 1\)

\(\Rightarrow M\geq x+\frac{1}{4x}+2010\geq 2011\)

Vậy $M_{\min}=2011$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{2}$

\(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2017\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+2016\ge2017\)