(bất đẳng thức nesbitt). Chứng minh với mọi số thực không âm a,b,c ta có:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
Lời giải:
xét các biểu thức sau:
\(S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}\)
\(N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}\)
ta có M+N=3 . (****)mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì:
\(M+S=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}\ge3\)
\(M+S=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{c+a}+\dfrac{b+c}{a+b}\ge3\) (*****)
vậy M+N+2S \(\ge\) 6 suy ra 2S \(\ge\) 3 (đpcm)
chỗ đánh dấu (****) (*****) đó Ace, làm sao ra được??
@Ace Legona