Đáp án D

\(y^2=sin2x+cos2x+2\sqrt{sin2x.cos2x}\)

Đặt \(sin2x+cos2x=t\Rightarrow t\in\left[1;\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right]\)

\(sin2x.cos2x=\dfrac{t^2-1}{2}\)

\(y^2=f\left(t\right)=t+\sqrt{2\left(t^2-1\right)}\)

\(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2t}{\sqrt{2\left(t^2-1\right)}}>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow y^2\le f\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\left(1+\sqrt[4]{3}\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow y\le\dfrac{1+\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\)

1, Phương trình tương đương

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos2x=1\)

⇔ \(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)

⇔ \(2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\)

⇔ x = \(\dfrac{\pi}{3}+k.\pi\)

2, \(2cos3x+3sin3x-2\)

= \(\sqrt{13}\)\((\dfrac{2}{\sqrt{13}}cos3x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}sin3x)\) - 2

Do \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2=1\) nên tồn tại 1 góc a sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\cosa=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\end{matrix}\right.\)

BT = \(\sqrt{13}sin\left(x+a\right)-2\)

Do - 1 ≤ sin (x + a) ≤ 1 với mọi x và a

⇒ \(-\sqrt{13}-2\le BT\le\sqrt{13}-2\)

⇒ \(-5,6< BT< 1,6\)

Vậy BT nhận 5 giá trị nguyên trong tập hợp S = {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1}

3. \(msinx-cosx=\sqrt{5}\)

⇔ \(\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}.sinx-\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}.cosx=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}}\)

⇔ sin(x - a) = \(\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\) với \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}\\cosa=\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}\end{matrix}\right.\)

Điều kiện có nghiệm : \(\left|\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\right|\le1\)

⇔ m² + 1 ≥ 5 

⇔ m² - 4 ≥ 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

Ta có:

Vậy M =  2

Đáp án D

Ta có: y = 2 1 2 sin 2 x - 1 2 cos 2 x = 2 sin 2 x - π 4 ≤ 2 . 1 = 2 ⇔ sin 2 x - π 4 ⇔ 2 x - π 4 = π 2 + k 2 π ⇔ x = 3 π 8 + kπ  

Vậy M =  2 .