Từ (2) suy ra \(\begin{cases}2-y\ge0\\x=\frac{y^2-4y+4}{y}\end{cases}\)

Lúc đó (1) có \(\frac{y^2-4y+4}{y}-y+m=0\Leftrightarrow m=\frac{4y-4}{y}\Leftrightarrow g\left(m\right)=f\left(y\right)\)

Xét hàm số \(f\left(y\right)=\frac{4y-4}{y}\)

- Miền xác định \(D=\left(-\infty;2\right)\)/\(\left\{0\right\}\)

- Đạo hàm \(f'\left(y\right)=\frac{4}{y^2}>0\) Hàm số đồng biến trên D

- Giới hạn 

                      \(\lim\limits_{y\rightarrow-\infty}f\left(y\right)=4\)

                        \(\lim\limits_{y\rightarrow0^+}f\left(y\right)=-\infty\)

                        \(\lim\limits_{y\rightarrow0^-}f\left(y\right)=+\infty\)

Bảng biến thiên 

Vậy để hệ có nghiệm  : \(m\in\left(-\infty;2\right)\cup\left(4,+\infty\right)\)

\(\hept{\begin{cases}\left(m+1\right)x-y=m+1\\x+\left(m-1\right)y=2\end{cases}}\)

\(\left(m+1\right)x-y=m+1\left(1\right)\)

\(x+\left(m-1\right)y=2\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y=\left(m+1\right)x-\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\left(m+1\right)\left(x-1\right)\)

Thế \(y=\left(m+1\right)\left(x-1\right)v\text{à}o\left(2\right)\)

\(x+\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(x-1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow x+\left(m^2-1\right)\left(x-1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow x+\left(m^2-1\right)x-m^2+1=2\)

\(\Leftrightarrow xm^2=1+m^2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\left(1+m^2\right)}{m^2}\)

Hệ PT VN \(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

Vậy......

\(\begin{cases}3^x-3^y=\left(y-x\right)\left(xy+m\right)\left(1\right)\\x^2+y^2=m\left(2\right)\end{cases}\)

Thay (2) vào (1) ta có : \(3^x-3^y=\left(y-x\right)\left(xy+x^2+y^2\right)\)

                                    \(\Leftrightarrow3^x-3^y=y^3-x^3\)     

                                    \(\Leftrightarrow3^x+x^3=3^y+y^3\)           

                                    \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=f\left(y\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=3'+t^3\)

- Miền xác định D=R

- Đạo hàm \(f'\left(x\right)=\ln3.3'+3t^2>0\) . Hàm đồng biến

Do dó x=y. Thay vào phương trình (2) ta có :

\(x^2+x^2=m\Leftrightarrow2x^2=m\Leftrightarrow x^2=\frac{m}{2}\)

Vậy để hệ có nghiệm : \(m\ge0\)

Hệ tương đương:

\(\hept{\begin{cases}y=m-x\\\left(x-1\right)^2+\left(m-x+1\right)^2=10\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=m-x\\2x^2-\left(2m+4\right)x+m^2+2m-8=0\left(1\right)\end{cases}}}\)

Hệ có nghiệm <=> PT (1) có nghiệm\(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow-m^2+20\ge0\Leftrightarrow-2\sqrt{5}\le m\le2\sqrt{5}\)

không có biết làm mới lớp 6 haha OvO

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?