Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngô Việt Hà

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm suy nhất :

\(\begin{cases}xy+x^2=m\left(y-1\right)\left(1\right)\\xy+y^2=m\left(x-1\right)\left(2\right)\end{cases}\)

Phan Thị Minh Trí
13 tháng 5 2016 lúc 21:18

* Điều kiện cần : Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y), khi đó, dễ thấy (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất suy ra y = x, thay vào (1) ta có :

\(x^2+x^2=m\left(x-1\right)\Leftrightarrow2x^2-mx+m=0\left(3\right)\)

Vì (3) có nghiệm kép nên \(\Delta=m^2-8m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\m=8\end{array}\right.\)

* Điều kiện đủ :

+ Khi m = 0 hệ phương trình đã cho trở thành 

\(\begin{cases}xy+x^2=0\\xy+y^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x\left(y+x\right)=0\\y\left(x+y\right)=0\end{cases}\)            (4)

Dễ thấy (1;-1) và (2;-2) là nghiệm (4), vậy m=0 không thỏa mãn đề bài 

+)khi m=8 hệ phương trình đã trở thành \(\begin{cases}xy+x^2=8y-8\left(5\right)\\xy+y^2=8x-8\left(6\right)\end{cases}\)

lấy (5) trừ (6) được 

\(x^2-y^2=8\left(y-x\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+8\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\y=-8-x\end{array}\right.\)

khi y=x thay vào (5) ta được \(2x^2-8x+8=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2\)khi y=-8-x, thay vào (5) ta được

\(x\left(-8-x\right)+x^2=8\left(-8-x\right)-8\Leftrightarrow-8x=-64-8x-8\)(VÔ NGHIỆM

kết luận : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=8


Các câu hỏi tương tự
Nguyen Phuong
Xem chi tiết
Hoàng Đức Thắng
Xem chi tiết
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Thắng
Xem chi tiết
Đặng Minh Quân
Xem chi tiết
Lại Thị Hồng Liên
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Bùi Diệu Mi
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Đạt
Xem chi tiết