Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lại Thị Hồng Liên

Giải hệ phương trình :

     \(\begin{cases}x^3+1=2\left(x^2-x+y\right)\\y^3+1=2\left(y^2-y+x\right)\end{cases}\)  (*)

Võ Bình Minh
14 tháng 5 2016 lúc 20:27

Từ phương trình ban đầu ta có :

      \(\begin{cases}x^3-2x^2+2x+1=2y\\y^3-2y^2+2y+1=2x\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)=2y\\f\left(y\right)=2x\end{cases}\) với \(f\left(t\right)=t^3-2t^2+2t+1\)

Ta có \(f'\left(t\right)=3t^2-4t+2>0\), với mọi \(t\in R\) nên f đồng biến trên R

* Nếu \(x>y\Rightarrow2x>2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) (Mâu thuẫn)

* Nếu \(x< y\Rightarrow2x< 2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) (Mâu thuẫn)

* Vậy \(x=y\) , ta có hệ phương trình ban đầu tương đương :

\(\begin{cases}x=y\\x^3-2x^2+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x\in\left\{1;\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\end{cases}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :

\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Đặng Minh Quân
Xem chi tiết
Nguyen Phuong
Xem chi tiết
Ngô Việt Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Hương Ly
Xem chi tiết
Võ Tân Hùng
Xem chi tiết
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết
Bùi Bích Phương
Xem chi tiết
Xuân Huy
Xem chi tiết
Phan Lê Quốc Hoàng
Xem chi tiết