Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :
AB // HK
AKI cân
BAK = AIK
AIC = AKC
Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh :
AB // HK
AKI cân
BAK = AIK
AIC = AKC
a)Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc với AC mà HK vuông góc với AC nên AB//HK
b)Ta có: ^AHK=^AHI=900 mà HI=HK nên AH là đường trung trực của KI
=>AK=AI(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
nên tam giác AKI cân tại A
c)Vì tam giác AKI cân tại A nên ^AKI=^AIK(1)
Vì AB//HK nên ^BAK=^AKI( 2 góc sole trong)(2)
Từ (1);(2) => ^BAK=^AIK
d)Vì tam giác AIK có ^AHK=^AHI=900 nên AH là đường cao của tam giác AKI mà tam giác AKI cân tại A nên AH cũng là đường phân giác của tam giác AKI(tính chất đường cao, tia phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến của một tam giác cân từ đỉnh đến cạnh đáy đối diện) hay ^KAH=^IAH
Xét tam giác AKC và tam giác AIC có:
AC là cạnh chung
^KAH=^IAH(CMT)
AK=AI(CMT)
Do đó, tam giác AKC=tam giác AIC(c.g.c)
=>^AKC=^AIC(2 góc tương ứng)
5'8'' là cao bao nhiu?
nêu cách tính
Giải phương trình :
\(\left(5^{x+2}\right)^{x+1}+\left(5^x\right)^{x+3}=\left(2^{x+1}\right)^{x+5}-6\left(2^{x+6}\right)^x\)
Phương trình đã cho tương đương với :
\(5^{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}+5^{x\left(x+3\right)}=2^{\left(x+1\right)\left(x+5\right)}-6.2^{\left(x+6\right)x}\)
\(\Leftrightarrow5^{x^2+3x+2}+5^{x^2+3x}=2^{x^2+6x+5}-6.2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow26.5^{x^2+3x}=26.2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow5^{x^2+3x}=2^{x^2+6x}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x\right)\log_25=x^2+6x\)
\(\Leftrightarrow x\left[\left(x+3\right)\log_25-\left(x+6\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\frac{6-3\log_25}{\log_25-1}=\log_{\frac{5}{2}}\frac{64}{125}\end{array}\right.\)
Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases}x+y=1-2xy\\x^2+y^2=1\end{cases}\)
Đặt \(S=x+y;P=xy;\left(S^2\ge4\right)\), hệ viết lại : \(\begin{cases}S=1-2P\left(1\right)\\S^2-2P=1\left(2\right)\end{cases}\)
Thay (1) vào (2), ta được :
\(\left(1-2P\right)^2-2P=1\Leftrightarrow4P^2-6P=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}P=0\\P=\frac{3}{2}\end{array}\right.\)
* Khi \(P=0\) ta có \(S=0\), vậy \(x+y=1\) và \(xy=0\) suy ra \(x\) và \(y\) là nghiệm của phương trình \(t^2-t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=0\\t=1\end{array}\right.\) do đó \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)\(;\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\)
* Khi \(P=\frac{3}{2}\) ta có \(S=-2\) không thỏa mãn điều kiện \(S^2\ge4P\)
Kết luận : Hệ phương trình có 2 nghiệm là \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\) và\(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{cases}\)
Điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\), khi đó :
\(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\)
Thay vào hệ phương trình ta được :
\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\\left(a+b\right)^2-2ab=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}\)
Do đó a và b là nghiệm của phương trình : \(t^2-5t+6=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=2\\t=3\end{cases}\)
vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(a;b\right)=\left(3;2\right)\)
* Khi \(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x+1=0\\y^2-3x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
* Khi \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3\\y+\frac{1}{y}=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x+1=0\\y^2-2x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
Các nghiệm (x;y) là
\(\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\)
giải hệ phương trình \(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\xy+x-y=-1\end{cases}\)
Đặt \(-x=u\). Hệ phương trình đã cho chuyển thành :
\(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\-yu-\left(u+y\right)=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\uy+\left(u+y\right)=1\end{cases}\) (*)
Đặt \(u+y=S;uy+P\) , điều kiện \(S^2\ge4P\). Thay vào (*), ta được :
\(\begin{cases}S^2-2P+S=2\\S+P=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}P=1-S\\S^2+3S-4=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}S=1\\P=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}S=-4\\P=5\end{cases}\) (loại)
Vậy \(\begin{cases}u+y=1\\uy=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow u+y=1\) và \(\left[\begin{array}{nghiempt}y=0\\u=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=0\\u=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}u=0\\y=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=0\\x=-1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)
Hệ có 2 nghiệm là \(\begin{cases}y=0\\x=-1\end{cases}\) và \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)
Cho 2 số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=x+y\)
Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)
Thay vào (1), ta được :
\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)
Hay u và v là nghiệm của phương trình :
\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\) (2)
Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :
\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)
Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)
Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)
Min K = \(9+3\sqrt{15}\)
Xét hai số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện :
\(\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}\)
gọi T là tập hợp giá trị của F
\(\begin{cases}\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{x}-1\right)+\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{y}-1\right)=\sqrt[3]{xy}\\\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{xy}=m\end{cases}\)
Đặt S = \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y},P=\sqrt[3]{xy}\) điều kiện \(S^2\ge4P\)hệ 1 trở thành
\(\begin{cases}S^2-S-3P=0\\S+P=m\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}S^2+2S-3m=0\\P=m-s\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m=\frac{S^2+2S}{3}\\P=\frac{S^2-S}{3}\end{cases}\)
Ta có \(S^2\ge4P\Leftrightarrow S^2\ge\frac{4S^2-4S}{3}\Leftrightarrow s^2-4S\le0\Leftrightarrow0\le S\le4\)
từ đó , hệ 1 có nghiệm \(\Leftrightarrow\)hệ 2 có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4P\Leftrightarrow\)phương trình \(S^2+2S-3m=0\)có nghiệm S thỏa mãn điều kiện 0\(0\le S\le4\)tức là
\(\Delta'=1+3m\ge0\)và \(\left[\begin{array}{nghiempt}0\le-1-\sqrt{1+3m}\le4\\0\le-1+\sqrt{1+3m}\le4\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m\ge-\frac{1}{3}\\1\le\sqrt{1+3m}\le5\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(0\le m\le8\)
vậy max F=8, min=0
xét hai số thực thay đổi \(x\ne0,y\ne0\)thỏa mãn xy(x+y)=\(x^2-xy+y^2\). tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\)
Gọi T là tập giá trị của A. Điều kiện để \(m\in T\) là hệ phương trình sau có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\)
\(\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{xy\left(x+y\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(S=x+y\)
\(P=xy;\left(S^2\ge4P\right)\) . Hệ (1) trở thành \(\begin{cases}SP=S^2-3P\\\frac{S^2}{P^2}=m\end{cases}\) (2)
Hệ (1) có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\) khi và chỉ khi hệ (2) có nghiệm (S,P) thỏa mãn \(S^2\ge4P;P\ne0\) do
\(S^2-3P=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) với mọi \(x\ne0;y\ne0\) nên SP > 0 \(\Rightarrow\frac{S}{P}>0\)
Như thế :
* Nếu \(m\le0\) thì hệ (2) vô nghiệm
* Nếu m > 0 thì
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\begin{cases}SP=S^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{m}P^2=mP^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P^2-3P=0\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) do \(P\ne0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P=3\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) (3)
Hệ (3) có nghiệm khi và chỉ khi \(m-\sqrt{m}\ne0\Leftrightarrow m\ne1\), lúc này từ (3) ta có :
\(P=\frac{3}{m-\sqrt{m}}\Rightarrow S=\frac{3}{\sqrt{m}-1}\)
Hệ (2) có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4;P\ne0\) khi và chỉ khi:
\(0< m\ne1\) và \(\frac{9}{\left(\sqrt{m}-1\right)^2}\ge\frac{12}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(3\sqrt{m}\ge4\left(\sqrt{m}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(\sqrt{m}\le4\Leftrightarrow m\in\) (0;16] \ \(\left\{1\right\}\)
Tập giá trị của A là (0;16] \ \(\left\{1\right\}\) suy ra max A = 16 ( không tồn tại min A)
Giải hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+z=-2\\x^2+y^2+z^2=6\\x^5+y^5+z^{ }=-32\end{cases}\)
Đặt \(p=x+y+z\)
\(q=xy+zy+zx\)
\(r=xyz\)
Ta có :
\(2q=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=4-6=-2\Rightarrow q=-1\)
Bây giờ ta sẽ đi tìm r
Đặt \(S_n=x^n+y^n+z^n\)
Khi đó \(S_0=3\)
\(S_1=-2\)
\(S_2=6\)
Ta có :
\(S_n-\left(x+y+z\right)S_{n-1}+\left(xy+yz+zx\right)S_{n-2}-xýzS_{n-3}=0\)
Suy ra \(S_n=-2S_{n-1}+S_{n-2}+rS_{n-3}\)
Lấy n = 3, ta được :
\(S_3=-2S_2+S_1+rS_0=-14+3r\)
Lấy n = 4, ta được :
\(S_4=-2S_3+S_2+rS_1=28-6r+6-2r=34-8r\)
Lấy n = 5, ta được :
\(S_5=-2S_4+S_3+rS_2=-68+16r-14+3r+6r=-82+25r\)
Mà \(S_5=-32\) nên r = 2.
Do đó x, y, z là nghiệm của phương trình
\(t^3+2t^2-t-2=0\Leftrightarrow t\in\left\{1;-1;-2\right\}\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left\{1;-1;-2\right\}\) và các hoán vị của nó