Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Huỳnh Thị Đông Thi

Cho 2 số thực  \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\)

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=x+y\)

Trần Thảo Nguyên
12 tháng 5 2016 lúc 19:59

Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị  của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)

Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)

Thay vào (1), ta được : 

\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)

Hay u và v là nghiệm của phương trình :

\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\)  (2)

Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện  \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :

\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)

Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)

Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)

           Min K = \(9+3\sqrt{15}\)


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Thị Tâm
Xem chi tiết
Hoàng Huệ Cẩm
Xem chi tiết
trần tuyết đỏ
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Hùng
Xem chi tiết
Vũ Như Quỳnh
Xem chi tiết
Xuân Huy
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Tâm
Xem chi tiết
Lê Mai
Xem chi tiết
Huyền My
Xem chi tiết