Hệ phương trình đối xứng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Xuân Huy

Giải hệ phương trình

a, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[4]{x^3-1}+\sqrt{x}=3\\x^2+y^3=82\end{matrix}\right.\) d, \(\left\{{}\begin{matrix}x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\2y=x^3+1\end{matrix}\right.\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+\frac{1}{y}}+\sqrt{x+y-3}=3\\2x+y+\frac{1}{y}=8\end{matrix}\right.\)

c,\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{x^2}=2x+y\\\frac{3}{y^2}=2y+x\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
23 tháng 12 2019 lúc 10:44

Bài 2:

ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$

$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$

Nếu $(a,b)=(2,1)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)

$y=1\rightarrow x=3$

$y=-1\rightarrow y=5$

Nếu $(a,b)=(1,2)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)

\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)

Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$

Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$

Vậy...........

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 1 2020 lúc 21:04

Bài 1:

Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)

Khi đó hệ PT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)

Có: \(a^4+b^4=81\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)

\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)

\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)

Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$

$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$

Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$

Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại

Vậy......

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 1 2020 lúc 21:11

Bài 2:

ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$

$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$

Nếu $(a,b)=(2,1)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)

$y=1\rightarrow x=3$

$y=-1\rightarrow y=5$

Nếu $(a,b)=(1,2)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)

\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)

Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$

Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$

Vậy...........

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 1 2020 lúc 21:15

Bài 3:

Lấy PT(1) trừ PT(2) thu được:

$\frac{3}{x^2}-\frac{3}{y^2}=x-y$

$\Leftrightarrow (x-y)\left[1+\frac{3(x+y)}{x^2y^2}\right]=0$

Xét 2 TH:

TH1: $x-y=0\Rightarrow x=y$

Thay vào PT(1): $\frac{3}{x^2}=2x+x=3x$

$\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$

TH2: $1+\frac{3(x+y)}{x^2y^2}=0$

Lấy PT(1)+ PT(2) suy ra $3(x+y)=\frac{3}{x^2}+\frac{3}{y^2}>0$

$\Rightarrow x+y>0$

Do đó $1+\frac{3(x+y)}{x^2y^2}>0$ nên TH này loại

Vậy........

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 1 2020 lúc 21:20

Bài 4:

PT $(1)\Leftrightarrow (x-y)+\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)+\frac{x-y}{xy}=0$

$\Leftrightarrow (x-y).\frac{xy+1}{xy}=0$

$\Rightarrow x=y$ hoặc $xy+1=0$

Nếu $x=y$:

Thay vào PT$(2)$: $2x=x^3+1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0$

$\Rightarrow x=y=1$ hoặc $x=y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn)

Nếu $xy+1=0\Rightarrow y=-\frac{1}{x}$. Thay vào PT $(2)$:

\(\frac{-2}{x}=x^3+1\)

$\Rightarrow x^4+x+2=0$

$\Leftrightarrow (x^2-1)^2+x^2+(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=0$ (vô lý)

Vậy.........

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Mai
Xem chi tiết
Lê Mai
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Kirito Matsuy
Xem chi tiết
Anh Trâm
Xem chi tiết
Ngoc Nhi Tran
Xem chi tiết
Van Han
Xem chi tiết
Nguyễn Trọng Hùng
Xem chi tiết
ken nam
Xem chi tiết