\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\\\sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5\end{matrix}\right.\)
Xét \(pt\left(1\right)\) dễ dàng suy ra \(x+y\ge0\)
\(VT=\sqrt{\left(x-y\right)^2+\left(2x+y\right)^2}+\sqrt{\left(x-y\right)^2+\left(2y+x\right)^2}\)
\(\ge\left|2x+y\right|+\left|2y+x\right|\ge3\left(x+y\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x,y\ge0\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(pt\left(2\right)\) ta được:
\(\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5\)
\(\Leftrightarrow\left[\sqrt{3x+1}-\left(x+1\right)\right]+2\left[\sqrt[3]{19x+8}-\left(x+2\right)\right]=2x^2-2x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-x^2\right)\left[\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+2\cdot\dfrac{x+7}{\sqrt[3]{\left(19x+8\right)^2}+\left(x+2\right)\sqrt[3]{19x+8}+\left(x+2\right)^2}+2\right]=0\)
Do \(x;y\ge0\) nên pt trong ngoặc luôn dương
\(\Rightarrow x-x^2=0\Rightarrow x\left(1-x\right)=0\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Mà \(x=y\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=0\\x=y=1\end{matrix}\right.\) là nghiệm của hpt
thanks b đã chỉ giúp mình.tại đánh máy nên mình ko để ý^^
pt(1): 5x2+2xy+2y2>=(2x+y)2 nên \(\sqrt{5x^{2^{ }}+2xy+2y^2}\ge\:\)trị tuyệt đối 2x+y.
cmtt>\(\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\ge\)trị tuyệt đối x+ 2y.
>mà tt đối 2x+y cộng ttđ x+2y>= 3(x+y).
>(1)>=3(x+y).
đâu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
thay x=y >=0 vào (2):
\(\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}\) = 2x2+x+5.
<=>\(\left(\sqrt{3x+1}-\left(x+1\right)\right)\)+\(\left(2\sqrt[3]{19x+8}-\left(x+2\right)\right)\)= 2x2- 2x.
nhân liên hợp ta đc:
(x2-x)*(\(\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+2\dfrac{x+7}{\sqrt[3]{19x+18}+\left(x+2\right)\left(\sqrt[3]{19x+18}\right)+\left(x+2\right)^2}=0\)
dễ thấy phần *>0 với mọi x,ytheo đk của (1)
>(x2 -x)=0
>x=0 hoặc x=1
>(x,y)=(0,0); (1,1).
vậy....
