Điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\), khi đó :
\(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\)
Thay vào hệ phương trình ta được :
\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\\left(a+b\right)^2-2ab=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}\)
Do đó a và b là nghiệm của phương trình : \(t^2-5t+6=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=2\\t=3\end{cases}\)
vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(a;b\right)=\left(3;2\right)\)
* Khi \(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x+1=0\\y^2-3x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
* Khi \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\) ta có :
\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3\\y+\frac{1}{y}=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x+1=0\\y^2-2x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
Các nghiệm (x;y) là
\(\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\)
