Bài 1:

Sửa đề: CMR \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Xét hiệu:

\(x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)\)

\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)\)

\(=(x^2-y^2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2\)

Vì \(x+y\geq 0, (x-y)^2\geq 0\) với mọi $x,y$ không âm

\(\Rightarrow x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\)

Ta có đpcm.

Bài 2:
$111(x-2)$ không nhỏ hơn $1998$, nghĩa là:

\(111(x-2)\geq 1998\)

\(\Leftrightarrow x-2\geq \frac{1998}{111}=18\)

\(\Leftrightarrow x\geq 20\)

Vậy với mọi giá trị $x\in\mathbb{R}$, $x\geq 20$ thì ta có điều cần thỏa mãn.

Bài 3:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b+b}{b}=\frac{a-2b}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1\)

Vì \(a,b>0; a>2b\Rightarrow a-2b>0; b>0\Rightarrow \frac{a-2b}{b}>0\)

Do đó:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1>1\)

Ta có đpcm.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\)

\(=\left(\frac{1}{4}m^2+n^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+p^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+q^2\right)+\left(\frac{1}{4}m^2+1\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot n^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot p^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot q^2}+2\sqrt{\frac{1}{4}m^2\cdot1}\)

\(=2\cdot\frac{1}{2}mn+2\cdot\frac{1}{2}mp+2\cdot\frac{1}{2}mq+2\cdot\frac{1}{2}m\)

\(=mn+mp+mq+m\)

\(=m\left(n+p+q+1\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{1}{4}m^2=n^2=p^2=q^2=1\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=p=q=1\end{cases}}\)

Lời giải:

Ta có:

\(3=xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)\leq \left(\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^3+8}\leq \frac{x^2-x+6}{2}\Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq \frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)}_{M}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}=\frac{2(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+18}\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{2(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\) (do $xy+yz+xz=3$)

Mà :

\(\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}-1=\frac{(x+y+z)^2+(x+y+z)-12}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}=\frac{(x+y+z-3)(x+y+z+4)}{(x+y+z)^2-(x+y+z)+12}\geq 0\) do $x+y+z\geq 0$

Do đó: \(M\geq 1\Rightarrow \text{VT}\geq 1\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2}.\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{x^3}{\frac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Tương tự

\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng vế theo vế

\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

a: 3(x-1)-2(x+1)=-3

=>3x-3-2x-2=-3

=>x-5=-3

=>x=2

Thay x=2 vào pt(1), ta được:

\(2m^2+m-6=0\)

=>2m²+4m-3m-6=0

=>(m+2)(2m-3)=0

=>m=-2 hoặc m=3/2

c: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử tồn tại 3 số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều trên

$\Rightarrow a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}< 6$

$\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a}-2)+(b+\frac{1}{b}-2)+(c+\frac{1}{c}-2)< 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2}{a}+\frac{(b-1)^2}{b}+\frac{(c-1)^2}{c}< 0$ (vô lý với mọi $a,b,c>0$)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức là không có 3 số dương $a,b,c$ nào thỏa mãn BĐT đã cho.

a/ \(n^2+12n+8=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+6\right)^2-28=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+6\right)^2-k^2=28\)

\(\Leftrightarrow\left(n-k+6\right)\left(n+k+6\right)=28\)

Do \(n-k+6+n+k+6=2n+12\) chẵn nên ta chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 28

\(\Rightarrow\left(n-k+6\right)\left(n+k+6\right)=2.14\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-k+6=2\\n+k+6=14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n=2\)

b/ Do \(b\ge a\Rightarrow b^2+4a+3\le b^2+4b+3< b^2+4b+4=\left(b+2\right)^2\)

Mặt khác \(b^2+4a+3>b^2\)

\(\Rightarrow b^2< b^2+4a+3< \left(b+2\right)^2\)

\(\Rightarrow b^2+4a+3=\left(b+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow b=2a+1\)

\(\Rightarrow a^2-5b+30=a^2-5\left(2a+1\right)+30=a^2-10a+25=\left(a-5\right)^2\)

2:

a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0

=>-(a^2-2ab+b^2)<=0

=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)

b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0

=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)