Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cao Thanh Nga

Cho m,n là 2 số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

(m+n)/2 . (m^2+n^2)/2 nhỏ hơn hoặc bằng (m^3+n^3)/2

Đinh quang hiệp
20 tháng 6 2018 lúc 16:47

\(\frac{\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)}{4}< =\frac{m^3+n^3}{2}\Rightarrow2\left(m+n\right)\left(m^2+n^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^3+n^3+m^2n+mn^2\right)< =4\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^2n+mn^2\right)< =\)

\(2\left(m^3+n^3\right)+2\left(m^3+n^3\right)\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)< =2\left(m^3+n^3\right)\)

\(\Rightarrow2\left(m^2n+mn^2\right)-2\left(m^3+n^3\right)=2\left(m^2n+mn^2-m^3-n^3\right)< =0\)

\(\Rightarrow2\left(\left(m^2n-m^3\right)+\left(mn^2-n^3\right)\right)=2\left(m^2\left(n-m\right)+n^2\left(m-n\right)\right)\)

\(=2\left(m^2\left(n-m\right)-n^2\left(n-m\right)\right)=2\left(m^2-n^2\right)\left(n-m\right)=2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(n-m\right)\)

\(=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)\left(m-n\right)=-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)^2< =0\)

vì \(-2< 0;m+n>0;\left(m-n\right)^2>=0\Rightarrow-2\left(m+n\right)\left(m-n\right)< =0\)luôn đúng

\(\Rightarrow\frac{m+n}{2}\cdot\frac{m^2+n^2}{2}< =\frac{m^3+n^3}{2}\)luôn đúng (đpcm)

dấu = xảy ra khi m=n


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tuệ Minh
Xem chi tiết
Ha Thi Dinh Trung tam th...
Xem chi tiết
Cao Thanh Nga
Xem chi tiết
Lê Huy Hoàng
Xem chi tiết
Hayami Nary
Xem chi tiết
Trung Hoàng
Xem chi tiết
Ruby Meo
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mai Anh
Xem chi tiết
Đặng Tú Phương
Xem chi tiết