Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)

Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).

Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì \(A\left(t+1;t+2;2t\right)\) và B là 1 điểm thuộc d2 thì \(B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)\)

Phương trình AB hay d3: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.\)

Giao điểm C của d3 và (P): \(2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)

Vậy \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

a) Ta có: \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{12}\)(1)

Ta có: \(\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\)

nên \(\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}\)

mà a+b+c=2 

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}=\dfrac{a+b+c}{8+12+15}=\dfrac{2}{35}\)

Do đó: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{8}=\dfrac{2}{35}\\\dfrac{b}{12}=\dfrac{2}{35}\\\dfrac{c}{15}=\dfrac{2}{35}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{16}{35}\\b=\dfrac{24}{35}\\c=\dfrac{30}{35}=\dfrac{6}{7}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(a=\dfrac{16}{35}\); \(b=\dfrac{24}{35}\); \(c=\dfrac{6}{7}\)

b) Ta có: 2a=3b=5c

nên \(\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{5}}\)

mà a+b-c=3

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

\(\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{a+b-c}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{3}{\dfrac{19}{30}}=\dfrac{90}{19}\)

Do đó: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{90}{19}\\3b=\dfrac{90}{19}\\5c=\dfrac{90}{19}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{45}{19}\\b=\dfrac{30}{19}\\c=\dfrac{18}{19}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(a=\dfrac{45}{19}\); \(b=\dfrac{30}{19}\); \(c=\dfrac{18}{19}\)

Mình ko phải thầy việt lâm thì mình làm có được ko nhỉ kk :v

\(A,B\in d\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(t_A+2;-4t_A+1;-t_A+3\right)\\B\left(t_B+2;-4t_B+1;-t_B+3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(-1-t_A;4t_A-2;-2+t_A\right);\overrightarrow{BM}=\left(-1-t_B;4t_B-2;-2+t_B\right)\)

\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow\left(1+t_A\right)\left(1+t_B\right)+\left(4t_A-2\right)\left(4t_B-2\right)+\left(t_A-2\right)\left(t_B-2\right)=0\)

\(\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|\Leftrightarrow\left(t_A+1\right)^2+\left(4t_A-2\right)^2+\left(t_A-2\right)^2=\left(t_B+1\right)^2+\left(4t_B-2\right)^2+\left(t_B-2\right)^2\)

hệ phương trình 2 ẩn, đến đây là việc của bạn r :v

xác định để thầy việt lâm lm òi, cj ráng chờ nghe 

Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:

\(2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0\)

Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn: 

\(2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow\) là 1 vtcp của \(\Delta\Rightarrow\) D là đáp án đúng

1.

\(cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=sin\alpha.cos\dfrac{\pi}{3}+cos\alpha.sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(=-\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=-\dfrac{15+8\sqrt{3}}{20}\)

2.

Gọi H là chân đường vuông góc từ I đến AB \(\Rightarrow AH=1\)

Ta có: \(IH=d\left(I;d\right)=\dfrac{ \left|1-1+2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Khi đó: \(R=IA=\sqrt{IH^2+AH^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=5\)

Làm lại đây nha, mình nhầm đoạn cuối một tí.

Lời giải:

Dễ thấy đường thẳng $d_1$ đi qua điểm \(M(1,-1,0)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(4,-2,5)\)

Khi đó, nếu $(P)$ là mp chứa \(d_1,MA\) thì \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{d_1},\overrightarrow{MA}]=(1,-3,-2)\)

\(\Rightarrow \text{PTMP}: x-3y-2z-4=0\)

Ta thấy \(C\in (d_2),C\in (P)\Rightarrow \) dễ dàng tìm được tọa độ điểm \(C(-1,-1,-1)\)

Lại có \(B=AC\cap d_1\). Và PTĐT \(AC\): \(\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{3}\)

\(\Rightarrow B(2,-2,2)\)

Do đó \(BC=\sqrt{19}\)

1. Đề bài chắc chắn không chính xác, hàm này không thể tìm được nguyên hàm

2. 

Trên thực tế, do d và d' vuông góc nên thể tích sẽ được tính bằng:

\(V=\dfrac{1}{6}AB.CD.d\left(d;d'\right)\) trong đó \(d\left(d;d'\right)\) là k/c giữa 2 đường thẳng d và d' (có thể áp dụng thẳng công thức tọa độ)

Còn nguyên nhân dẫn tới công thức tính đó thì:

d có vtcp \(\left(7;5;3\right)\) còn d' có vtcp \(\left(2;-1;-3\right)\) nên d và d' vuông góc

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=7+7t'\\y=5+5t'\\z=3t'\end{matrix}\right.\)

Gọi (P) là mp chứa d' và vuông góc d thì pt (P) có dạng: 

\(7x+5y+3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow7x+5y+3z-6=0\)

Gọi H là giao điểm (P) và d \(\Rightarrow H\left(\dfrac{105}{83};\dfrac{75}{83};-\dfrac{204}{83}\right)\)

Số xấu dữ quá.

Tính khoảng cách từ điểm H (đã biết) đến đường thẳng d' (đã biết), gọi kết quả là \(h\) (đây thực chất là khoảng cách giữa d và d').

Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.AB.\dfrac{1}{2}.h.CD=...\)

Minh họa hình vẽ cho công thức thể tích bên trên:

Ta có: \(V_{ABCD}=V_{AHCD}-V_{BHCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}-\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}\left(AH-BH\right)S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}.d\left(H;CD\right).CD\)

\(=\dfrac{1}{6}.AB.CD.d\left(AB;CD\right)\)

Trong trường hợp A; B nằm khác phía so với H thì hoàn toàn tương tự:

\(V_{ABCD}=V_{AHCD}+V_{BHCD}=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}+\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(AH+BH\right)S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=...\) kết quả vẫn hoàn toàn giống bên trên