thiếu điểm C k bạn?

Đặt \(AB=3x\Rightarrow AC=4x\Rightarrow BC=\sqrt{9x^2+16x^2}=5x\)

Theo tính chất phân giác: \(\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow\frac{AE}{3x}=\frac{CE}{5x}\Rightarrow AE=\frac{3}{5}CE\)

\(\Rightarrow CE+\frac{3}{5}CE=4x\Rightarrow CE=\frac{5}{2}x\)

Gọi H là hình chiếu của E lên BC \(\Rightarrow EH\) nhận \(\overrightarrow{n_{EH}}=\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình EH: \(4x-3y-6=0\)

Toạ độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-7=0\\4x-3y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{9}{5};\frac{2}{5}\right)\)

Do \(\Delta CHE\sim\Delta CAB\Rightarrow\frac{CH}{CA}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow CH=\frac{CE.AC}{BC}=\frac{\frac{5}{2}x.4x}{5x}=2x\)

\(\Rightarrow CH=\frac{2}{3}HB\Rightarrow\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\)

Gọi \(C\left(c;\frac{7-3c}{4}\right)\); do \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{CE}\\\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\frac{3}{5}c;\frac{9c-85}{20}\right)\\B\left(\frac{9-3c}{2};\frac{-43+45c}{40}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{45-9c}{10};\frac{27c-127}{40}\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(\frac{8c}{5};\frac{60-9c}{10}\right)\end{matrix}\right.\)

\(AB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow\frac{8c\left(45-9c\right)}{50}+\frac{\left(27c-127\right)\left(60-9c\right)}{400}=0\)

Giải pt này sẽ xong bài toán, xấu quá :(

Giả sử trực tâm của tam giác ABC có tọa độ \(H\left(x;y\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(6;-2\right)\\\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x-1\right)-2y=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y=3\left(1\right)\) 

Lại có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(x-5;y+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{CH}\Leftrightarrow\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-5\right)+y+1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+y=-11\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-8\\y=-27\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-8;-27\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-4\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;3\right)\)

Vì 2.6+(-4).3=0 => AC_|_BC => tg ABC là tam giác vuông

Từ hình vẽ thì hướng giải như sau:

Dễ dàng nhận ra \(DF\perp AK\), từ đó biết vtpt của DF \(\Rightarrow\) phương trình DF 

\(\Rightarrow\) Tọa độ F (là giao của DF và đường tròn tâm D bán kính DE do DE=DF)

Biết tọa độ F \(\Rightarrow\) viết được pt AD qua D vuông góc EF

\(\Rightarrow\) Tọa độ A từ là giao AK và AD

\(\Rightarrow\) Phương trình AB qua A và E, phương trình AC qua A và F, phương trình BC qua D và vuông góc AF

Gọi K là hình chiếu của A lên BC, I là hình chiếu của B lên AC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK\perp BC\\BI\perp AC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_K-x_A\right)\left(x_C-x_B\right)=0\\\left(y_K-y_A\right)\left(y_C-y_B\right)=0\\\left(x_I-x_B\right)\left(x_C-x_A\right)=0\\\left(y_I-y_B\right)\left(y_C-y_A\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(...\right)\\K\left(....\right)\end{matrix}\right.\)

Viết phương trình đường thẳng ua A và K; Viết phương trìn đường thẳng ua B và I.

Giao điểm của 2 đường thẳng đó chính là tọa độ trực tâm H