1.Xét ΔHBA và ΔABC có:

góc AHB=góc BAC=90^o

Góc B chung 

=> ΔABC đồng dạng ΔHBA (g.g)

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)\(\Rightarrow BA.BA=BH.BC\)

2. Xét ΔHBI và ΔABE có:

góc ABE=IBH (Vì BE là tia phân giác của góc B, I nằm trên BE)

góc BAE=góc IHB=90^o

=>ΔHBI đồng dạng ΔABE (g.g)

a: Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có 

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

Do đó: ΔBAE=ΔBHE

Suy ra: \(\widehat{AEB}=\widehat{HEB}\)

hay EB là tia phân giác của \(\widehat{AEH}\)

b: Ta có: ΔBAE=ΔBHE

nên BA=BH và EA=EH

Ta có: BA=BH

nên B nằm trên đường trung trực của AH\(\left(1\right)\)

Ta có: EA=EH

nên E nằm trên đường trung trực của AH\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra BE là đường trung trực của AH

c: Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có 

EA=EH

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)

Do đó: ΔAEK=ΔHEC

Suy ra: EK=EC

Xét ΔEKC có EK=EC

nên ΔEKC cân tại E

d: Ta có: EA=EH

mà EH<EC

nên EA<EC

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔADC(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AE=AD(Hai cạnh tương ứng)

Bài 2:

a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM\(\perp\)BC

c: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Bài 1:

a: XétΔBAE vuông tại A và ΔBDE vuông tại D có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\)

Do đó: ΔBAE=ΔBDE

b: ΔBAE=ΔBDE

=>EA=ED

Xét ΔEAF vuông tại A và ΔEDC vuông tại D có

EA=ED

\(\widehat{AEF}=\widehat{DEC}\)

Do đó: ΔEAF=ΔEDC

=>EF=EC

a: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔBHA vuông tại H có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔBEM∼ΔBHA

Suy ra: \(\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{BM}{BA}\)

hay \(BE\cdot BA=BH\cdot BM\)

Tứ giác AEHM nội tiếp (E và H cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{AME}=45^0\) (AEMF là hv nên AME=45 độ)

\(\Rightarrow\widehat{BHE}=\widehat{AHB}-\widehat{AHE}=45^0=\widehat{AHE}\)

\(\Rightarrow HE\) là phân giác AHB

Cũng do AEHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{EMH}\)

Mà \(\widehat{EMH}=\widehat{FCH}\) (đồng vị) \(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{FCH}\) (1)

Tứ giác AHMF nội tiếp (H và F cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MAF}=45^0\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{AHE}\)  (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta CFH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{CH}{CF}\) (3)

Áp dụng định lý phân giác cho tam giác ABH: \(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{BH}{BE}\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{BH}{BE}\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH}{CH}\)

Xét tam giác vuông ABHGóc HAB+ góc HBA=90độ(1)

Xét tam giác vuông ABC: góc ABC + góc ACB=90 độ(2)

Từ (1),(2)=> góc HAB = góc HCA

1:

a: AB<AC

=>góc B>góc C

góc ADB=góc C+góc CAD

góc ADC=góc B+góc BAD

mà góc C<góc B và góc CAD=góc BAD

nên góc ADB<góc ADC

b: Sửa đề; AE=AB

Xét ΔABD và ΔAED có

AB=AE

góc BAD=góc EAD

AD chung

=>ΔABD=ΔAED

=>góc ABD=góc AED