a: Xét ΔBEM vuông tại E và ΔBHA vuông tại H có
\(\widehat{B}\) chung
Do đó: ΔBEM∼ΔBHA
Suy ra: \(\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{BM}{BA}\)
hay \(BE\cdot BA=BH\cdot BM\)
Tứ giác AEHM nội tiếp (E và H cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{AME}=45^0\) (AEMF là hv nên AME=45 độ)
\(\Rightarrow\widehat{BHE}=\widehat{AHB}-\widehat{AHE}=45^0=\widehat{AHE}\)
\(\Rightarrow HE\) là phân giác AHB
Cũng do AEHM nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{EMH}\)
Mà \(\widehat{EMH}=\widehat{FCH}\) (đồng vị) \(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{FCH}\) (1)
Tứ giác AHMF nội tiếp (H và F cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MAF}=45^0\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{AHE}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\Delta AEH\sim\Delta CFH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{CH}{CF}\) (3)
Áp dụng định lý phân giác cho tam giác ABH: \(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{BH}{BE}\) (4)
(3);(4) \(\Rightarrow\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{BH}{BE}\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH}{CH}\)
Cách 2:
Áp dụng hệ thức lượng: \(AH^2=BH.CH\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AH^2}{CH^2}\)
Mặt khác hai tam giác vuông ABC và HAC đồng dạng \(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\) (1)
Hai tam giác vuông BEM và MFC đồng dạng (hai góc M và C đồng vị)
\(\Rightarrow\dfrac{BE}{EM}=\dfrac{MF}{CF}\Rightarrow\dfrac{BE}{MF}=\dfrac{MF}{CF}\) (do AEMF là hv nên \(EM=MF\))
\(\Rightarrow BE=\dfrac{MF^2}{CF}\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{MF}{CF}\right)^2\) (2)
Hai tam giác vuông ABC và FMC đồng dạng (chung góc C)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MF}{CF}\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{HB}{HC}\)
