Đường thẳng Δ song song với d ⇒ Δ: x + y + c = 0, (c ≠ 0)

Vì Δ đi qua A ⇒ 3 + 0 + c = 0 ⇒ c = -3(tm)

Vậy đường thẳng Δ có dạng: x+y-3=0

Vì đường tròn có tâm I thuộc d nên I(a;-a)

Vì đường tròn đi qua A, B nên I A 2  = I B 2  ⇒ (3 - a ) 2  + a 2  = a 2  + (2 + a ) 2  ⇔ (3 - a ) 2  = (2 + a ) 2

Vậy phương trình đường tròn có dạng:

Ta có: 

Giả sử elip (E) có dạng:

Vì (E) đi qua B nên:

Mà

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( {3; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\) (chà, rắc rối rồi, do \(\dfrac{IA}{R}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nên tam giác IMN không bao giờ có thể vuông được)

Ta có: \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow S_{IMN-max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH\le IA\)

Do vai trò M, N là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử M, H nằm cùng phía so với A

\(cos\widehat{MIH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{MIH}\ge69^018'\) (do \(0< \widehat{MIH}\le90^0\) nên  \(cos\widehat{MIH}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIH}\))

\(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MIH}>90^0\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}_{max}\) khi \(\widehat{MIN}_{min}\)

Lại có: \(\widehat{MIN}=180^0-2.\widehat{IMH}\Rightarrow\widehat{MIN}_{min}\) khi \(\widehat{IMH}_{max}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) (\(0\le\widehat{IMH}\le90^0\) nên \(sin\widehat{IMH}\) và \(\widehat{IMH}\) đồng biến)

\(sin\widehat{IMH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) khi H trùng A

Hay \(S_{\Delta IMN-max}\) khi H trùng A \(\Leftrightarrow d\perp IA\)

\(\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-2\right)-y=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)

Sử dụng phương trình đường tròn :  x² – y² – ax – 2by +c = 0

Đường tròn đi qua điểm A(1; 2):

1² + 2² – 2a -4b + c = 0   <=>   2a + 4b – c = 5

Đường tròn đi qua điểm B(5; 2):

5² + 2² – 10a -4b + c = 0   <=>    10a + 4b – c = 29

Đường tròn đi qua điểm C(1; -3):

1² + (-3)² – 2a + 6b + c = 0   <=>    2a – 6b – c = 10

Để tìm a, b, c ta giải hệ: 

Lấy (2) trừ cho (1) ta được phương trình: 8a = 24    => a = 3

Lấy (3) trừ cho (1) ta được phương trình: -10b = 5   => b = – 0,5

Thế a = 3 ; b = -0.5 vào (1) ta tính được c = -1

Ta được phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x² + y² – 6x + y – 1 = 0

Chú ý:

Tâm I(x; y) của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là điểm cách đều ba điểm ấy, hay

IA = IB = IC   =>  IA² = IB² = IC²

Từ đây suy ra x, y là nghiệm của hệ:

<=> I(3;  )

Từ đây ta tìm được R và viết được phương trình đường tròn.

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}1+4-2a-4b+c=0\\9+0-6a-2b\cdot0+c=0\\1+16-2a-8b+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2a-4b+c=-5\\-6a+c=-9\\-2a-8b+c=-17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\\c=15\end{matrix}\right.\)

c) 

(d) vuông góc với (d^') : y = 2x 

=> (d) có dạng : y = -2x + b 

(d) đi qua M (3,5) : 

5 = (-2) . 3 + b 

=> b = 10

(d) : y = -2x + 10 

d) 

Gọi : hàm số có dạng : y = ax + b 

Hàm số đi qua điểm A ( 1,2) , B(2,1) nên : 

\(\left\{{}\begin{matrix}2=a+b\\1=2a+b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=3\end{matrix}\right.\)

e) 

(d) đi qua gốc tọa độ O : 

=> d : y = ax 

(d) đi qua điểm A(1;2) nên : 

2 = a * 1 

=> a = 2 

(d) : y = 2x