Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đúng ba điểm cực trị là \(x-2;x=-1;x=0.\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left(x^2-2x\right)\) là
\(5\).\(3\).\(2\).\(4\).Hướng dẫn giải:Ta chọn một hàm số \(f\left(x\right)\) với đạo hàm \(f'\left(x\right)\) có đúng ba nghiệm \(x-2;x=-1;x=0\) và đổi dấu tại ba nghiệm này thì \(f\left(x\right)\) thỏa mãn đề bài, như vậy \(f'\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right).\)
Xét hàm số \(y=f\left(x^2-2x\right)\).Đặt \(u=x^2-2x\) thì \(y=f\left(u\right)\) và áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp ta có
\(y'_x=f'\left(u\right).u'\left(x\right)=u\left(u+1\right)\left(u+2\right).\left(2x-2\right)=\left(x^2-2x\right)\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2-2x+2\right)2\left(x-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right).2\left(x-1\right)^2\left(\left(x-1\right)^2+1\right)\)
Suy ra \(y'\) luôn cùng dấu với \(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\); \(y'\) triệt tiêu và đổi dấu tại \(x=0;x=1;x=2.\) Do đó hàm số \(y=f\left(x^2-2x\right)\) có \(3\) cực trị.