Phương trình \(\left(x^2-5\right)\left|x^2-1\right|=m\) có 6 nghiệm phân biệt khi
\(-4< m< 0\). \(m< -5\). \(m>0\). \(-5< m< -4\). Hướng dẫn giải:Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-5\right)\left(x^2-1\right)=x^4-6x^2+5\)
\(g\left(x\right)=\left(x^2-5\right)\left|x^2-1\right|\)
Khi đó: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\le-1;x\ge1\\-f\left(x\right);-1< x< 1\end{cases}\)
Vẽ đồ thị hàm số f(x) sẽ suy ra được đồ thị hàm g(x).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f(x) như sau:
- Đạo hàm \(f'\left(x\right)=4x^3-12x=4x\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)
- Bảng biến thiên
- Đồ thị hàm số f(x) (đường nét chấm trong hình vẽ dưới)
Đồ thị hàm số g(x) suy ra từ f(x) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị của f(x) trên đoạn [-1; 1], trên các đoạn khác giữ nguyên đồ thị f(x).
Để phương trình g(x) = m có 6 nghiệm phân biệt thì -4 < m < 0.