Phương trình \(\dfrac{x+1}{|x-2|}=m\) có hai nghiệm phân biệt khi
\(m>1\). \(m< -1\). \(m\geq 1\). \(m\leq -1\). Hướng dẫn giải:Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}\) và \(g\left(x\right)=\frac{x+1}{\left|x-2\right|}\) thì ta có: \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\)
Phương trình đã cho trở thành: \(g\left(x\right)=m\)
Trước hết ta vẽ đồ thị hàm f(x), g(x).
Ta có:
- Miền xác định của f(x) và g(x) là \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)
- Đạo hàm cùa: \(f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(x-2\right)^2}< 0\) => Hàm f nghịch biến trên các khoảng xác định.
- Tiệm cận đứng của f(x): $x = 2$
- Tiệm cận ngang:
Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-2+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}\) vậy tiệm cận ngang của f(x) là $y = 1$
- Bảng biến thiên
- Đồ thị hàm f(x) như sau:
Đồ thị đi qua các điểm sau \(A\left(-1;0\right)\) ; \(B\left(0;-\frac{1}{2}\right)\); \(C\left(3;4\right)\); \(D\left(4;\frac{5}{2}\right)\)
Đồ thị hàm f(x) là đường nét đứt trong hình sau:
Sau khi có đồ thị f(x) ta suy ra đồ thị g(x) như sau:
Vì \(g\left(x\right)=\begin{cases}f\left(x\right);x\ge2\\-f\left(x\right);x< 2\end{cases}\) nên với \(x\ge2\) đồ thị g(x) trùng với f(x); với x < 2 thì g(x) là ảnh của f(x) qua phép đối xứng qua trục hoành.
Vậy đồ thị của g(x) là đường nét liền trong hình trên.
Để phương trình g(x) = m có hai nghiệm thì m > 1.