Cho $y=\dfrac{2x+1}{x+1}\quad (H)$. Tìm phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến cách đều 2 điểm $A(2;4),B(-4;-2)$?
$y=x+1$ hoặc $y=x+5$. $y=-x+1$. $y=-x-5$. $y=-x-1$ hoặc $y=-x-5$. Hướng dẫn giải:Các đường thẳng cách đều hai điểm A và B thuộc một trong hai loại sau:
1) Đường thẳng trung trực của AB (tập các điểm cách đều A và B) có phương trình là:
$(x-2)^2 + (y-4)^2=(x+4)^2+(y+2)^2$
hay $y=-x$
Đường thẳng này là tiếp tuyến của (H) thì phương trình $\dfrac{2x+1}{x+1}=-x$ phải có nghiệm kép, hay là phương trình $x^2+3x+1=0$ có nghiệm kép. Điều này không xảy ra do $\Delta =5\ne 0$.
2) Các đường thẳng song song với AB.
Phương trình đường thẳng đi qua A và B là: $\dfrac{y-4}{-2-4}=\dfrac{x-2}{-4-2}$, hay là $y=x+2$.
Suy ra các đường thẳng song song với AB có hệ số góc là $1$ và có dạng $y=x+a$.
Để đường thẳng là tiếp tuyến của (H) thì phương trình $\dfrac{2x+1}{x+1}=x+a$ có nghiệm kép $x\ne -1$.
Hay là phương trình $x^2+(a-1)x+a-1=0$ có nghiệm kép $x\ne -1$.
Hay là $\Delta = (a-1)(a-5)=0$ và $(-1)^2 + (a-1).(-1) +a -1 \ne 0$
Hay là $a=1$ hoặc $a=5$.
Tương ứng với hai tiếp tuyến $y=x+1$ và $y=x+5$.