Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+2}\quad (C)$. Đường thẳng $d:y=-x+m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Độ dài AB nhỏ nhất khi
$m = 0$.
$m = - 1$.
$m = 1$.
$m = 2$.
Hướng dẫn giải:
Xem chi tiết
Giải phương trình hoành độ giao điểm ta có :
\(\dfrac{2x+1}{x+2}=-x+m\Rightarrow2x+1=\left(-x+m\right)\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x+1=-x^2+\left(m-2\right)x+2m\Leftrightarrow x^2+\left(4-m\right)x+\left(1-2m\right)=0\)
Theo hệ thức Vi-et thì \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=m-4\\x_A.x_B=1-2m\end{matrix}\right.\)
\(AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(x_B-x_A\right)^2=2\left[\left(x_A+x_B\right)^2-4x_A.x_B\right]\)
\(=2\left[\left(m-4\right)^2-4\left(1-2m\right)\right]=2m^2+24\ge24\)
Vậy AB min khi m = 0.