Cho điểm \(P\left(-3;1;-1\right)\) và đường thẳng \(\left(d\right):\begin{cases}4x-3y-13=0\\y-2z+5=0\end{cases}\)
Điểm \(P'\) đối xứng với \(P\) qua đường thẳng \(\left(d\right)\) có tọa độ :
\(P'\left(5,7,3\right)\) \(P'\left(-5,7,-3\right)\) \(P'\left(5,-7,3\right)\) \(P'\left(-5,-7,3\right)\) Hướng dẫn giải:Cách 1: Cách dựng \(P'\) như sau:
- Dựng hình chiếu vuông góc \(H\) của \(P\) xuống \(\left(d\right)\): Vì \(PH\perp d\Rightarrow H\in\)mp \(\left(\alpha\right)\) qua \(P\) và vuông góc với \(d,\) \(H=d\cap\left(\alpha\right).\)
- Dựng \(P'\)sao cho \(H\) là trung điểm của đoạn \(PP'.\)
Viết phương trình của \(\left(d\right)\) ở dạng tham số :
\(\left(d\right):\begin{cases}4x-3y-13=0\\y-2z+5=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=3y+13\\y=2z-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=3\left(2z-5\right)+13=6z-2\\y=2z-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=12t-2\\y=4t-5\\z=2t\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{1}{2}+3t\\y=-5+4t\\z=2t\end{matrix}\right.\) (1)
\(\left(d\right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(3;4;2\right)\), là vectơ pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\), do đó \(\left(\alpha\right):3x+4y+2z+D=0.\) Sử dụng điều kiện \(\left(\alpha\right)\) qua điểm \(P\left(-3;1;-1\right)\) suy ra \(D=7\) và \(\left(\alpha\right):3x+4y+2z+7=0.\)
Thế (1) vào phương trình \(\left(\alpha\right)\) ta tính được \(t=\frac{1}{2}\) suy ra \(H\left(1;-3;1\right).\)
\(H\left(1;-3;1\right)\) là trung điểm đoạn \(PP'\) suy ra \(P'\) có tọa độ \(x=2x_H-x_P=5;y=2y_H-y_P=-7;z=2z_H-z_P=3\)
Do đó \(P'\left(5;-7;3\right)\).
Cách 2: Nếu \(P'\) đối xứng với \(P\) qua đường thẳng \(\left(d\right)\) thì trung điểm \(H\) của đoạn \(PP'\) phải có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left(d\right)\) (tức là \(H\in\left(d\right)\). Ta thử từng đáp số:
- Nếu \(P'\left(5,7,3\right)\) thì vì \(P\left(-3;1;-1\right)\) suy ra \(H\left(1;4;1\right)\), tọa độ không thỏa mãn \(\left(d\right):\begin{cases}4x-3y-13=0\\y-2z+5=0\end{cases}\), loại.
Tương tự, cả hai đáp số \(P'\left(-5,7,-3\right)\) hay \(P'\left(-5,-7,3\right)\) cũng bị loại. Đáp số đúng chỉ có thể là \(P'\left(5,-7,3\right)\).