Nội dung lý thuyết
Định lí:
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left(S\right)\) tâm \(I\left(a;b;c\right)\) bán kính \(r\) có phương trình là:
\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2\).
Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể được viết dưới dạng
\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(d=a^2+b^2+c^2-r^2\).
Cho mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\). Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(O\) đến \(mp\left(P\right)\).
- Trường hợp \(h>r\): Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) không có điểm chung với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\).
- Trường hợp \(h=r\): Khi đó mặt phẳng \(\left(P\right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\).
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng \(\left(P\right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\) là \(\left(P\right)\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại \(H\).
- Trường hợp \(h< r\): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm \(H\), bán kính \(r'=\sqrt{r^2-h^2}\).
Cho mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) và đường thẳng \(\Delta\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ \(O\) tới \(\Delta\).
- Trường hợp \(d>r\): \(\Delta\) không cắt mặt cầu \(S\left(O;r\right)\).
- Trường hợp \(d=r\): \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\).
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại điểm \(H\) là \(\Delta\) vuông góc với bán kính \(OH\) tại điểm \(H\) đó.
- Trường hợp \(d< r\): \(\Delta\) cắt mặt cầu \(S\left(O;r\right)\) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình
\(x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+5=0\).
Giải:
Phương trình mặt cầu đã cho tương ứng với phương trình \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+3\right)^2=3^2\)
Vậy mặt cầu đã cho có tâm \(I\left(-2;1;-3\right)\) và có bán kính \(r=3\).
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu có đường kính \(AB\) với \(A\left(4;-3;7\right)\) và \(B\left(2;1;3\right)\).
Giải:
Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) và bán kính \(r=\dfrac{AB}{2}\).
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{4+2}{2}=3\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1\\z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{7+3}{2}=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(3;-1;5\right)\)
Lại có: \(AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(1+3\right)^2+\left(3-7\right)^2}=6\) \(\Rightarrow r=\dfrac{AB}{2}=3\)
Do đó ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-5\right)^2=9\).
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm \(I\left(1;2;4\right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+2y+z-1=0\).
Giải:
Khoảng cách từ điểm \(I\left(1;2;4\right)\) đến mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+2y+z-1=0\) là
\(d\left(I;\left(\alpha\right)\right)=\dfrac{\left|2.1+2.2+4-1\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=3\)
Nên mặt cầu \(\left(S\right)\) có bán kính \(r=d\left(I;\left(\alpha\right)\right)=3\) và tâm \(I\left(1;2;4\right)\)
Suy ra phương trình mặt cầu \(\left(S\right)\) là: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-4\right)^2=9\).
Ví dụ 4: Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(I\left(-1;0;0\right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{1}\). Viết phương trình mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\).
Giải:
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left(2;1;1\right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;2;1\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{IM}=\left(3;1;1\right)\)
từ đó tính được \(\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u}\right]=\left(-1;-2;5\right)\) và \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{IM},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\sqrt{5}\)
Do mặt cầu \(\left(S\right)\) tiếp xúc với \(d\) nên bán kính \(r=d\left(I;d\right)=\sqrt{5}\)
Vậy phương trình mặt cầu \(\left(S\right)\) là: \(\left(x+1\right)^2+y^2+z^2=5\).