Cho điểm \(A\left(2;-1;1\right)\) và đường thẳng \(d:\begin{cases}y+z-4=0\\2x-y-z+2=0\end{cases}\). Gọi \(A'\)là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\). Tọa độ của điểm \(A'\) là :
\(\left(5;3;0\right)\) \(\left(0;3;5\right)\) \(\left(0;1;7\right)\) \(\left(0;7;1\right)\) Hướng dẫn giải:a) \(d:\begin{cases}y+z-4=0\\2x-y-z+2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z=4\\2x=y+z-2=4-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=z-4\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{1}\\x-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{0}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{1}\)(1)
nên \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(0;-1;1\right)\).
b) Xét điểm \(A'\left(x;y;z\right).\) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(A'A.\) Ta thấy: \(A'\left(x;y;z\right).\)là điểm đối xứng với \(A\left(2;-1;1\right)\) qua \(d\)khi và chỉ khi: \(E\in d\) và \(A'A\perp d\Leftrightarrow\) tọa độ \(E\) thỏa mãn phương trình \(d\) và \(\overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{u}=0.\)
c) Ta có bảng sau
Đáp số: \(\left(1;1;3\right)\)