Khoảng cách giữa hai đường thẳng :
\(\left(d_1\right):\begin{cases}x+y=0\\x-y+z+4=0\end{cases}\) và \(\left(d_2\right):\begin{cases}x+3y-1=0\\y+z-2=0\end{cases}\) là :
\(\frac{3}{\sqrt{31}}\) \(\frac{6}{\sqrt{62}}\) \(\frac{9}{\sqrt{62}}\) \(\frac{9}{\sqrt{31}}\) Hướng dẫn giải:Ta có:
a) \(\left(d_1\right):\begin{cases}x+y=0\\x-y+z+4=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-x\\z=y-x-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=-t\\z=-2t-4\end{matrix}\right.\) qua \(A_1\left(0;0;-4\right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\left(1;-1;-2\right)\)
b) \(\left(d_2\right):\begin{cases}x+3y-1=0\\y+z-2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3y+1\\y=2-z\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5+3t\\y=2-t\\z=t\end{matrix}\right.\) qua \(A_2\left(-5;2;0\right)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\left(3;-1;1\right)\)
c) \(A_1\left(0;0;-4\right)\) và \(A_2\left(-5;2;0\right)\) nên \(\overrightarrow{A_1A_2}\left(-5;2;4\right)\).
d) Khoảng cách cần tính bằng \(\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{A_1A_2}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\)
Sử dụng MTCT ta tính được \(\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-3;-7;2\right)\) và \(\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{A_1A_2}=9\), \(\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\sqrt{9+49+4}=\sqrt{62}\right|\) nên khoảng cách cần tính bằng \(\frac{9}{\sqrt{62}}\).