Cho hai điểm \(A\left(1;4;2\right),B\left(-1;2;4\right)\) và đường thẳng \(\Delta:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}\).
Tìm các điểm \(M\in\Delta\) sao cho \(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất.
Lấy \(M\in\Delta\Rightarrow M\left(1-t,-2+t,2t\right)\)
=> \(\overrightarrow{MA}\left(t;6-t;2-2t\right)\) và \(\overrightarrow{MB}\left(t-2;4-t;4-2t\right)\).
\(MA^2+MB^2=t^2+\left(6-t\right)^2+\left(2-2t\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(4-t\right)^2+\left(4-2t\right)^2\)
\(=12t^2-48t+76\)\(=12\left(t-2\right)^2+28\)
\(MA^2+MB^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow t=2\).
Suy ra: \(M\left(-1;0;4\right)\)