Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD, BE cắt
nhau tại H, kéo dài BE cắt đường tròn (O; R) tại F.
1) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp được một đường tròn;
2) Chứng minh △HAF cân;
3) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh: ME là tiếp tuyến của
đường tròn ngoại tiếp △CDE;
4) Cho BC cố định và BC = R 3 . Xác định vị trí của A trên đường tròn (O)
để DH.DA lớn nhất.
GIÚP MÌNH NHA MỌI NGƯỜI
1, Xét tứ giác CDHE , có :
\(AD⊥BC,BE⊥AC\)→\(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90^0+90^0=180^0\)
=> Tứ giác CDHE nội tiếp được 1 đường tròn
2, Ta có :
\(\widehat{AFE}=\widehat{AFB}=\widehat{ACB}=90^o−\widehat{DAC}=\widehat{AHE}\)
=> \(\bigtriangleup{HAF}\) cân
3, Ta có :
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACH}(=\widehat{BAE}=90^o)\)
=> \( Δ A B E ∼ Δ H C E ( g . g )\)
Mà M, I là trung điểm AB, HC
=> \( Δ M E B ∼ Δ I E C\)
=> \(\widehat{MEB}= \widehat{IEC}→ME⊥EI\) →ME là tiếp tuyến của (CDE)
4, Ta có :
\(BC=R√ 3→ \widehat {BOC}=120^o→ \widehat{BAC}=60^o \)
Ta có : \(\widehat{BHD}= \widehat{ACD}→ΔBDH∼ΔADC(g.g)\)
\(→\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{BD}{AD}→DH.DA=BD.DC≤\dfrac{1}{4}(BD+DC)^2=\dfrac{3}{4}R^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(DB=DC→ΔABC \) đều
