Violympic toán 9

bach nhac lam

2. a) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>1\\x+y+z=xyz\end{matrix}\right.\) Tìm min \(P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}\)

b) \(a,b,c>0.Cmr:\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge0\\x^2+y^2+z^2=2\end{matrix}\right.\) Tìm max \(P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9}\)

d) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\ge\frac{3}{4}\)

Trần Thùy Linh
25 tháng 4 2020 lúc 13:04

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bình luận (0)
tthnew
25 tháng 4 2020 lúc 16:02

b) Mạnh hơn, và dễ dàng hơn là:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{\sum c\left(a-b\right)^2}{abc}\)

Nó tương đương với: \({\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+{\frac {{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac {{c}^{2} }{{a}^{2}}}+3-2\,{\frac {a}{b}}-2\,{\frac {b}{c}}-2\,{\frac {c}{a}} \geqq 0\)

Là hiển nhiên vì \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\)

Đơn giản:))

Bình luận (0)
tthnew
25 tháng 4 2020 lúc 16:46

a) Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow ab+bc+ca=1;0< a,b,c< 1\)

Cần chứng minh: \(P=\sum\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}}=\sum\frac{b^2-ab^2}{a}\ge\sqrt{3}-1\)

Hay là: \(\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\sqrt{ab+bc+ca}\ge\left(\sqrt{3}-1\right)\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)^2\left(ab+bc+ca\right)\ge\) \(\Big[ (\sqrt{3} -1) (ab+bc+ca) +a^2+b^2+c^2\Big]^2\)

Giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\) và đặt \(a=c+u, \, b=c+v \, (u,\, v \geq 0)\)

Nếu mình không nhìn nhầm, sau khi rút gọn, nhóm lại theo biến c, bạn nhận được một cái gì đó gọi là hiển nhiên haha

Chúc may mắn, mình mới rút gọn thử thì thấy có vẻ hiển nhiên thật :))

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 4 2020 lúc 17:15

a/ Một cách đơn giản hơn:

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)

\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)

\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Bình luận (0)
bach nhac lam
25 tháng 4 2020 lúc 12:04

@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm, @tth_new

giúp em với ạ ! em cảm ơn nhiều!

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 4 2020 lúc 12:48

b/ \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (1)

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 4 2020 lúc 12:58

c/ \(2+2yz=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2x\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow x\left(y+z\right)\le1+yz\)

Mặt khác cũng có: \(2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow1+yz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)

\(P\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{36}\)

\(P\le\frac{x+y+z}{x+y+z+1}-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{36}\)

Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow P\le\frac{t}{t+1}-\frac{t^2}{36}=\frac{36t-t^3-t^2}{36\left(t+1\right)}\)

\(P\le\frac{-t^3-t^2+16t-20+20\left(t+1\right)}{36\left(t+1\right)}=\frac{-\left(t-2\right)^2\left(t+5\right)}{36\left(t+1\right)}+\frac{5}{9}\le\frac{5}{9}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\frac{5}{9}\) khi \(t=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right);\left(1;0;1\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 4 2020 lúc 13:08

d/ \(VT=\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

\(VT=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(VT\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(\frac{2a+2b+2c}{3}\right)^3}\ge\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2}{\frac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (0)
tthnew
26 tháng 4 2020 lúc 16:17

Cách 3 cho câu b, khá độc đáo:

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(a^2;b^2;c^2\right)\) (nên đặt x2.. nhưng mình đặt vậy để sẽ nói sau)

Đưa bất đẳng thức về: \(\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Áp dụng bổ đề với \(x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}\)

Có: \(VT\ge\left[\frac{3}{2}\sum\left(x+\frac{1}{x}\right)-6\right]^2\) (viết x, y, z lại như bổ đề trong link cho dễ xem :v)

\(=\left[\frac{3}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)-6\right]^2\ge VP\)

Hoán vị trở thành đối xứng, đơn giản chưa:v

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết