Violympic toán 9

Công chúa vui vẻ

Cho đường tròn (O;R ) đường kính AB. Qua A,B vẽ lần lượt các tiếp tuyến d và d' với đường tròn. Vẽ đường thẳng qua O cắt d và d' theo thứ tự tại M, P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt d' ở N. Chứng minh:

a, BN.BP =OA2

b, MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hung nguyen
27 tháng 11 2019 lúc 16:06

Hình tự vẽ

a/ Xét \(\Delta NOB\)\(\Delta OPB\)

\(\widehat{NOB}=\widehat{OPB}\) (cùng phụ \(\widehat{ONB}\))

\(\widehat{OBN}=\widehat{PBO}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta NOB\sim\Delta OPB\)

\(\Rightarrow\frac{OB}{PB}=\frac{NB}{OB}\)

\(\Rightarrow NB.PB=OB^2=R^2=OA^2\)

b/ Xét \(\Delta MOA\)\(\Delta POB\)

\(AO=BO=R\)

\(\widehat{MAO}=\widehat{PBO}=90^0\)

\(\widehat{MOA}=\widehat{POB}\)

\(\Rightarrow\Delta MOA=\Delta POB\)

\(\Rightarrow MO=PO\)

\(\Rightarrow ON\)là trung tuyến của tam giác MNP lại có ON là đường cao của tam giác MNP

\(\Rightarrow\Delta MNP\)cân tại N

\(\Rightarrow\)ON là đường phân giác của góc MNP

Kẽ OI vuông góc với MN tại I

Xét \(\Delta ION\)\(\Delta BON\)

\(ON\)chung

\(\widehat{OIN}=\widehat{OBN}=90^0\)

\(\widehat{INO}=\widehat{BNO}\)

\(\Rightarrow\Delta ION=\Delta BON\)

\(\Rightarrow OI=OB=R\)

Vậy MN là tiếp tuyến của (O)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN