Bài 1: Cho phương trình: acos2x + sinx = cosx.cotx tìm a để pt có 4 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)
Bài 2: Tìm m để pt cos3x - cos2x + mcosx - 1 = 0 có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng −π2<x<2π−π2<x<2π
Bài 3: Cho hàm số y=cos2x+asin2x+2y=cos2x+asin2x+2 (với a là tham số)
a, với a=1 tìm GTLN,NN của hàm số
b, tìm a để GTLN của hàm số đạt nhỏ nhất
1/ ĐKXĐ: \(sinx\ne0\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x+sinx=\frac{cos^2x}{sinx}\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx+sin^2x-cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx-cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x\left(a.sinx-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\a.sinx-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(cos2x=0\) có 4 nghiệm trên khoảng đã cho nên để pt có đúng 4 nghiệm thì (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(sinx=0\)
Với \(a=0\Rightarrow-1=0\) pt vô nghiệm (thỏa mãn)
Với \(a\ne0\Rightarrow sinx=\frac{1}{a}\Rightarrow\) để pt vô nghiệm thì \(\left|\frac{1}{a}\right|>1\Rightarrow-1< a< 1\)
Vậy \(-1< a< 1\)
2/
\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-\left(2cos^2x-1\right)+m.cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-2cos^2x+m.cosx=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(4cos^2x-2cosx+m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\4cos^2x-2cosx+m-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Do \(cosx=0\) có 2 nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right)\) , dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để pt có 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng đó thì (1) có 5 nghiệm sao cho \(-1< cosx_1< 0< cosx_2< 1\)
Đặt \(cosx=a\Rightarrow4a^2-2a+m-3=0\) (2)
Ta cần tìm m để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< 0< a_2< 1\)
Để (2) có 2 nghiệm trái dấu thì \(4\left(m-3\right)< 0\Rightarrow m< 3\)
Để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< a_2< 1\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)>0\\f\left(1\right)>0\\-1< \frac{S}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m>1\\-1< \frac{1}{4}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)
Vậy \(1< m< 3\)
Bài 3:
a/ \(y=\frac{cos2x+1}{sin2x+2}\Leftrightarrow y.sin2x-cos2x=1-2y\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(y^2+\left(-1\right)^2\ge\left(1-2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3y^2-4y\le0\Rightarrow0\le y\le\frac{4}{3}\)
Vậy \(y_{min}=0\); \(y_{max}=\frac{4}{3}\)
b/ \(y=\frac{cos2x+a}{sin2x+2}\Leftrightarrow y.sin2x-cos2x=a-2y\)
\(\Rightarrow y^2+1\ge\left(a-2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3y^2-4ay+a^2-1\le0\)
\(\Delta'=4a^2-3\left(a^2-1\right)=a^2+3\)
\(\Rightarrow\frac{2a-\sqrt{a^2+3}}{3}\le y\le\frac{2a+\sqrt{a^2+3}}{3}\)
\(\Rightarrow y_{max}=f\left(a\right)=\frac{2a+\sqrt{a^2+3}}{3}\)
Mà \(\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{2a+\sqrt{a^2+3}}{3}=-\infty\) nên \(\min\limits_Rf\left(a\right)\) không tồn tại
Đề bài có vấn đề sao?
