Question

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=\(\frac{1}{x^2-x+1}\)

Answer 1

\(A=\frac{1}{x^2-x+1}=\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le\frac{1}{0+\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\frac{4}{3}\) khi \(x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\) \(\ge\frac{3}{4}\) (Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\))

\(\Rightarrow A=\frac{1}{x^2-x+1}\ge\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\) (Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) ; \(\forall x\in R\) )

\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của biểu thức \(A=\frac{1}{x^2-x+1}\) là \(\frac{4}{3}\) tại \(x=\frac{1}{2}\)