Question

giúp tớ với : toán tích phân

cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn\(\int_0^1f\left(x\right)dx\)=12

hàm số g(x) liên tục trên R thỏa mãn g(x)+g(-x)=1 với mọi xϵ R.

GIÁ TRỊ CỦA \(\int_{-1}^1f\left[x\right].g\left(x\right)dx\) bằng bao nhiêu?

P/S: đáp số 12

Answer 1

Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn nên ta luôn có \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) và:

\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx\Rightarrow\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Xét \(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_1f\left(-t\right).g\left(-t\right)d\left(-t\right)=-\int\limits^{-1}_1f\left(t\right)\left[1-g\left(t\right)\right]dt\)

\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(t\right)dt-\int\limits^1_{-1}f\left(t\right).g\left(t\right)dt=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx-\int\limits^1_{-1}f\left(x\right).g\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx-I\Rightarrow2I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=12\)

Answer 2

\(f\left[x\right]\) là hàm phần nguyên hay bạn chỉ kí hiệu vậy thôi?

Hàm phần nguyên thì tích phân ẩn hàm này giải mệt đấy (chính xác là mình ko biết suy từ kết quả tích phân giả thiết ra tích phân phần nguyên thế nào, vì cách thức tích phân của 2 hàm này quá khác nhau), còn hàm bình thường thì khá đơn giản