a) Đặt \(n^2+18n+2020=k^2\Leftrightarrow n^2+18n+81+1939=k^2\Leftrightarrow\left(n+9\right)^2+1939=k^2\Leftrightarrow1939=k^2-\left(n+9\right)^2\Leftrightarrow\left(k-n-9\right)\left(k+n+9\right)=1939\)
Dễ thấy 1939 = 7.277 = 1.1939
Mặt khác : k,n thuộc nguyên dương => k + n > 0
mà (k - n - 9)(k + n + 9) = 1939 > 0
=> k - n - 9 > 0
Do đó, trong trường hợp này ta chỉ gán cho từng thừa số các ước dương của 1939
Và cũng dễ thấy k - n - 9 < k + n + 9
Vậy thì chỉ xảy ra các trường hợp :
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-9=1\\k+n+9=1939\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k=970\\n=960\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow n=960\left(tm\right)\)
TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}k-n-9=7\\k+n+9=277\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}k=142\\n=126\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow n=126\left(tm\right)\)
Vậy n=960 hoặc n=126 thì n2+18n+2020 là số chính phương
b) Xét n=1 thì n4-n+2=2 không phải là số chính phương
Xét n=2 thì n4-n+2=16 là số chính phương
Xét n>2 ta có
\(\left(n^2-1\right)^2=n^4-2n^2+1=n^4-n+2-2n^2+n-1=\left(n^4-n+2\right)-\left(2n^2-n+1\right)< n^4-n+2\left(1\right)\)( vì n nguyên dương\(\Rightarrow\) \(2n^2-n+1>0\))
Ta lại có \(\left(n^2+1\right)^2=n^4+2n^2+1=n^4-n+2+2n^2+n-1=\left(n^4-n+2\right)+\left(2n^2+n-1\right)>n^4-n+2\left(2\right)\)(vì n nguyên dương\(\Rightarrow2n^2+n-1>0\))
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\left(n^2-1\right)^2< n^4-n+2< \left(n^2+1\right)^2\Rightarrow n^4-n+2=n^4\Leftrightarrow n-2=0\Leftrightarrow n=2\left(ktm\right)\)
Vậy n=2 thì n4-n+2 là số chính phương
