Question

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

a) x+y+z=xyz;

b) x+y+z+9=xyz;

c) x+y+1=xyz.

Answer 1

a) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\) 3z \(\ge\) xyz

\(\Rightarrow\) 3 \(\ge\) xy

Vì xy nguyên dương nên xy = 1 hoặc xy = 2

+ Nếu xy = 1 thì x + y + z = z \(\Rightarrow\) x + y = 0, loại vì x, y nguyên dương

+ Nếu xy = 2 thì x + y + z = 2z \(\Rightarrow\) x + y = z. Do xy = 2 và x \(\le\) y nên x = 1, y = 2, do đó y = 3.

Vậy...

Answer 2

b, xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)

* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)

* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.

Answer 3

c, Ta biện luận theo z nguyên dương
**************************
* Nếu z>=3
***************************
=> x+y+1=>3xy
=> x+y+1 -3xy>=0
=> x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)>=0 (*)
Do x, y nguyên dương => x,y>=1
=> 1-y<=0, 1-x<=0 và 1-xy<=0
=> x(1-y) +(y(1-x)+(1-xy)<=0 (**)

Từ (*) và (**)=>
=> Tổng bằng 0 khi:
{x(1-y)=0
{y(1-x)=0
{(1-xy)=0
=> x=1, y=1
Vậy nghiệm là (1;1;3)

**************************
** Nếu z=2
************************
=> x+y+1=2xy
=> x(y-1) + y(x-1)=1
Tổng 2 số nguyên không âm bằng 1 chỉ là một trong 2 cặp 0,1 hoặc 1,0
=>
{(x(y-1)=0
{ y(x-1)=1 => x=2, y=1
hoặc
{(x(y-1)=1
{ y(x-1)=0 => x=1, y=2

Vậy có 2 cặp nghiệm là (2;1;2) và (1;2;2)
*************************
*Nếu z=1
**************************
=> x+y+1=xy
=> (x-1)(y-1)=2
=>
{x-1=1
{y-1=2 => x=2, y=3

Hoặc

{x-1=2
{y-1=1 => x=3, y=2

Vậy có 2 cặp nghiệm (2,3,1) và (3;2;1)

Tóm lại: Nghiệm của pt là (1;1;3); (2,1,2); (1;2;2); (2;3;1); (3;2;1)