Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy một điểm E nằm giữa hai điểm O và B. Gọi F là điểm đối xứng với điểm đối xứng với điểm A qua E Và I là trung điểm của CF.
a, CM: tứ giác OEFC là hình thang và tứ giác OEIC là hình bình hành .
b, Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của F trên các đường thẳng BC và CD. cHỨNG minh tứ giác CHFK là hình chữ nhật
c, Chứng minh bốn điểm E,H,K,I thẳng hàng.
a) Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)
⇔Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD(gt)
nên O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔACF có
O là trung điểm của AC(gt)
E là trung điểm của AF(A và F đối xứng nhau qua E)
Do đó: OE là đường trung bình của ΔACF(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒OE//CF và \(OE=\frac{CF}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(CI=\frac{CF}{2}\)(I là trung điểm của CF)
nên OE=CI và OE//CI
Xét tứ giác OEFC có OE//FC(cmt)
nên OEFC là hình thang có hai đáy là OE và FC(Định nghĩa hình thang)
Xét tứ giác OEIC có OE//CI(cmt) và OE=CI(cmt)
nên OEIC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: \(\widehat{HCK}+\widehat{HCD}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(\widehat{HCK}+\widehat{BCD}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HCK}+90^0=180^0\)
hay \(\widehat{HCK}=90^0\)
Xét tứ giác HFKC có
\(\widehat{HCK}=90^0\)(cmt)
\(\widehat{FHC}=90^0\)(FH⊥BC)
\(\widehat{FKC}=90^0\)(FK⊥CD)
Do đó: HFKC là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
