Question

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn tại ai điểm A, B.

a) Cmr: MA . MB = MO^2 - R^2

b) Kẻ cát tuyến thứ hai MCD với đường tròn. Cmr: MC . MD = MA . MB

Answer 1

Lời giải:

a) Ta thấy:

$MA=MB(1)$ theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

$MA$ là tiếp tuyến $(O)\Rightarrow MA\perp OA$. Xét tam giác vuông $AMO$ có đường cao $AH$. Áp dụng định lý Pitago:

$MA^2=MO^2-AO^2=MO^2-R^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow MA.MB=MO^2-R^2$

b)

Xét tam giác $MAC$ và $MDA$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn dây cung đó. Ở đây tiếp tuyến là $MA$ và dây cung $AC$)

$\Rightarrow \triangle MAC\sim \triangle MDA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$

$\Rightarrow MA^2=MC.MD$

Mà $MA=MB$ nên $MA.MB=MC.MD$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: