Chương II - Hàm số bậc nhất

\(2=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a+b\le2\)

\(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2=4\)

\(a^3+b^3\ge\dfrac{4}{a+b}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

\(a^3+a\ge2a^2\);\(b^3+b\ge2b^2\)

\(a^3+b^3\ge2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\ge4-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=4-2=2\)

các bạn hãy áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp giả thiết, ta có:

\(\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right)\)

Tương tự ta được:

\(\dfrac{ac}{\sqrt{b+ac}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+a}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\)

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}\right)\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\sum\dfrac{bc}{\sqrt{a}+bc}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ca}{b+a}+\dfrac{ca}{b+c}\right)-\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)