Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Vì 2ab < (a² + b²) , 2ac < (a² + c²) , 2bc < (b² + c²)

Nên (a + b + c)² <  a² + b² + c² + (a² + b²) +  (a² + c²) +  (b² + c²) = 3(a² + b² + c²)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski:

\(15=4x-3y\le\sqrt{\left(4^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

=> (x² + y²) >=(15/5)² = 9

em moi hoc lop 6

với điều kiện x>=1 thì 2 pt mới tương đương. Nếu k có đk thì chỉ là suy ra thôi :)

28

1488

\(S=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\geq \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)

Lại có

\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=9\)

Mặt khác

\(ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{ab+bc+ca}\geq 3\)

Suy ra \(\min S=30\) đạt tại \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

45888

45888

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì

\(\left(ab(2c+a)+bc(2a+b)+ca(2b+c)\right)\left(\dfrac{a^4}{ab(2c+a)}+\dfrac{b^4}{bc(2a+b)}+\dfrac{c^4}{ca(2b+c)}\right)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\)

Do đó \(VT\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+6abc}\)

Ta có \(3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}, 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)

và \(2a^2b\leq a^2b^2+a^2,...\Rightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+(a^2+b^2+c^2)\)

Mà \(3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2\) và \(3(a^2+b^2+c^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2\)

nên ta suy ra đpcm

\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)

\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ab+ac+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+b^2+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ca+bc+c^2+ab}}\)

\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ab}{c+a}\right)}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left[\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]+\left[\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right]+\left[\dfrac{b\left(c+a\right)}{c+a}\right]}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\dfrac{ac}{\sqrt{b+ca}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

 khó thế thằng lớp 1 con giải đưc nũa nè

Cần điều chế 33,6g Fe bằng cách dùng CO khử Fe₃O₄

_{a) Viết pthh}

_{b) Tính khối lượng Fe3O4 cần dùng}

_{c) Tính thể tích CO đã dùng (đktc)}