Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Áp dụng BĐT Cô si dạng phân số ta có :

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi a = b = c = 1 .

Đặt \(\left(x^3;y^3;z^3\right)=\left(a;b;c\right)\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

Ta cần chứng minh

\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)

Áp dụng AM-GM, ta có: \(x^3+y^3+1=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xyz\)

\(\ge\left(x+y\right)xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

Cộng vế theo vế, ta được

\(....\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{1}{xyz}=1\)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

1 slot :v

Áp dụng BĐT Bunyakovsky:

\(VT^2=\left(\sqrt{2}x.\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}y.\dfrac{1}{\sqrt{2}}+x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\)

\(\le\left(2x^2+2y^2+x^2+y^2\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1-x^2+1-y^2\right)\)

\(=3\left(x^2+y^2\right)\left[3-\left(x^2+y^2\right)\right]\le\dfrac{3}{4}.\left(x^2+y^2+3-x^2-y^2\right)^2=\dfrac{3}{4}.9=\dfrac{27}{4}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

đặt x/y=a hay xy/z=a hay j đó là ra nói chung là 4 biế
n lười nháp

\(\sum\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a+b+c-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}-\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}-\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\ge a+b+c-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\) Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

ta có : \(y=\dfrac{3}{x}+\dfrac{12}{1-2x}=\left(\dfrac{3}{x}-6\right)+\left(\dfrac{12}{1-2x}-12\right)+18\)

\(y=\dfrac{3-6x}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18=\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18\)

vì \(0< x< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}>0\) và \(\dfrac{24x}{1-2x}>0\)

áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số : \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}>0\) và \(\dfrac{24x}{1-2x}>0\)

ta có : \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}.\dfrac{24x}{1-2x}}=12\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18\ge18+12\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(18+12\sqrt{2}\)

dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}=\dfrac{24x}{1-2x}\)

\(\Leftrightarrow3\left(1-2x\right)^2=24x^2\) \(\Leftrightarrow3\left(1-4x+4x^2\right)=24x^2\)

\(\Leftrightarrow3-12x+12x^2=24x^2\Leftrightarrow12x^2+12x-3=0\)

\(\Delta'=\left(6\right)^2-12.\left(-3\right)=36+36=72>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x=\dfrac{-6+\sqrt{72}}{12}=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\) ; \(x=\dfrac{-6-\sqrt{72}}{12}=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}\)

vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(18+12\sqrt{2}\)

và dấy " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{2}}{2}\)