Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Bạn vẽ hình rồi kí hiệu như trên.

a) \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)(Cái này áp dụng hệ thức lượng tam giác dạng \(c^2=a\cdot c'\)).

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{3}\\CH-BH=8\end{matrix}\right.\) => Hiệu số phần bằng nhau là 2.

Ta tính được : \(\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{8}{2}\cdot3=12\\BH=\dfrac{12}{3}=4\end{matrix}\right.\) => \(BC=BH+CH=16\).

Có \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}\), mà \(AB^2+AC^2=BC^2=16^2=256\)

Tổng số phần bằng nhau là 4.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=\dfrac{256}{4}=64\\AC^2=\dfrac{256}{4}\cdot3=192\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=8\\AC=8\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\Delta ABC\) có \(AB=8,AC=8\sqrt{3},BC=16\).

b)\(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot MN\) (kí hiệu như hình).

Trong đó : \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{8\cdot8\sqrt{3}}{16}=4\sqrt{3}\)

+) \(AD=AH-HD=AH-MQ=4\sqrt{3}-a\)

+) \(MN\)//\(BC\Rightarrow\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AD}{AH}\Rightarrow MN=\dfrac{BC\cdot AD}{AH}\)

\(=\dfrac{16\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{4\sqrt{3}}=\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\)

=> \(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot\left(\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{16\sqrt{3}a-4a^2}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{-\left(4a^2-16\sqrt{3}a\right)}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\left[\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2-48\right]}{\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{48-\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}=\dfrac{48}{\sqrt{3}}-\dfrac{\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}\le\dfrac{48}{\sqrt{3}}=16\sqrt{3}\)

Vậy \(S_{MNIQ-max}=16\sqrt{3}\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}\).

Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ M và E của đ tròn O( cho phần c)

Ta có \(\widehat{AMB}=\widehat{AEB}=90^0\)(vì là góc nội tiếp nửa đường tròn)

ta có \(\widehat{AMB}+\widehat{CMB}=180^0\\ ts\Rightarrow\widehat{CMB}=90^0\\ cmtt\Rightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

a, Xét tứ giác MCED có \(\widehat{CMB}+\widehat{CEA}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow MCED\) nội tiếp(đpcm)

b, Do hai đường cao CH và AE của \(\Delta ACB\) cắt nhau tại D nên D là trực tâm của \(\Delta ABC\Rightarrow CH\perp ABhay\widehat{CHB}=90^0\)

Xét \(\Delta AEBvs\Delta CHB\) có

\(\widehat{ABC}chung\\ \widehat{AEB}=\widehat{CHB}=90^0\)

Nên hai tam giác đồng dạng với nhau

\(\Rightarrow\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BH}{BC}\Leftrightarrow BE.BC=BH.BA\left(đpcm\right)\)

c, phần này hơi khó hiểu. có gì pm lại cho a

Để chứng minh hai tt này cắt nhau trên CD thì ta chứng minh điểm đó nằm trên đường thẳng hay 3 điểm đó thẳng hàng. ở đây a gọi điểm đó là K rồi nha

Để cm thẳng hàng thì có nhiều cách nhưng a làm cách cộng góc nha. cm \(\widehat{CKH}=180\) là ok

Ta có \(\widehat{HCB}=\widehat{AEB}\)(vì phụ với góc ABC)

ta có EK là tt của đtròn O nên\(\widehat{OEK}=90^0\)

ta có\(\widehat{CEK}=\widehat{AEO}\)(vì phụ với góc AKE)

Mà \(\widehat{OEA}=\widehat{EAB}\)(tam giác OAE cân)

nên \(\widehat{OEA}=\widehat{OAE}=\widehat{CEK}=\widehat{HCB}\)

Xét tgiác OEA và tgiác KCE có 2 cạp góc bằng nhau như trên

nên hai tam giác đồng dạng =>\(\widehat{CKE}=\widehat{AOE}\) (1)

Ta có \(\widehat{CDE}=\widehat{AEO}\)(vì phụ với góc HCB)

tương tự \(\widehat{KEA}=\widehat{BEO}\)(vì phụ với góc AEO)

như chứng ming trên thì \(\widehat{AEO}=\widehat{HCB}\)

nên 4 góc \(\widehat{OBE}=\widehat{OEB}=\widehat{KDE}=\widehat{KED}\)

Ta lại xét hai cặp tam giác KDE và OEB có 2 cặp góc bằng nhau như trên nên hai tg đồng dạng =>\(\widehat{DKE}=\widehat{EOB}\) (2)

ta có \(\widehat{CKE}+\widehat{DKE}=\widehat{CKH}\)

Từ (1) và (2) có \(\widehat{CKH}=\widehat{AOE}+\widehat{EOB}=\widehat{AOB}=180^0\)

Vậy góc CKH=180 hay C, K ,H thẳng hàng

=>đpcm

Hơi dài nhưng đúng đấy. đọc kĩ nha

Câu a bạn tự làm nhé

Câu b :

ta có : \(DC\perp AC\) (1)

( góc ACD là góc nội tiếp chắn nửa đt)

\(BE\perp AC\) (BE là đường cao )(2)

Mà H thuộc BE(3)

(1)(2)(3)=>BH//DC (*)

TA CÓ : góc FCB = góc DBC ( cùng phụ góc EBC)

mà góc FCB và DBC ở vị trí so le trong

=> BH //DC(**)

(*)(**)=> HCDB là hbh ( hai cặp cạnh đối //)

Câu C

=> HD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm BC

=> M là trung điểm HD

=> H , M , D thẳng hàng